4. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}\), где \(t\) - время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, \(\omega = 20\) град./мин - начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta = 8\) град./мин² - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки \(\varphi\) достиг 4200°. Ответ дайте в минутах.

**Решение:**

1. Запишем уравнение для угла поворота катушки:
\[\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}\]
2. Подставим известные значения: \(\varphi = 4200\) градусов, \(\omega = 20\) град/мин, \(\beta = 8\) град/мин²:
\[4200 = 20t + \frac{8t^2}{2}\]
3. Упростим уравнение:
\[4200 = 20t + 4t^2\]
4. Перенесём все члены в одну сторону и разделим на 4, чтобы упростить квадратное уравнение:
\[4t^2 + 20t - 4200 = 0\]
\[t^2 + 5t - 1050 = 0\]
5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1050) = 25 + 4200 = 4225\]
\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{4225}}{2} = \frac{-5 + 65}{2} = \frac{60}{2} = 30\]
\[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{4225}}{2} = \frac{-5 - 65}{2} = \frac{-70}{2} = -35\]

6. Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем \(t = 30\) минут.

**Ответ:** 30 минут.