Диск радиусом \( R = 100 \) см вращается по оси Ох по закону \( \varphi = t^2 - 3 \). Определить полное ускорение

Решение:

Полное ускорение \( a \) материальной точки, движущейся по окружности, складывается из тангенциального \( a_t \) и центростремительного \( a_c \) ускорений. \( a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} \).

1. Переведем радиус в метры: \( R = 100 \text{ см} = 1 \text{ м} \).
2. Найдем угловую скорость \( \omega \), продифференцировав закон движения по времени:
   \[ \omega = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 3) = 2t \text{ рад/с} \]
3. Найдем угловое ускорение \( \varepsilon \), продифференцировав угловую скорость по времени:
   \[ \varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(2t) = 2 \text{ рад/с}^2 \]
4. Тангенциальное ускорение вычисляется по формуле:
   \[ a_t = \varepsilon R = 2 \text{ рад/с}^2 \cdot 1 \text{ м} = 2 \text{ м/с}^2 \]
5. Центростремительное ускорение вычисляется по формуле:
   \[ a_c = \omega^2 R = (2t)^2 \cdot 1 \text{ м} = 4t^2 \text{ м/с}^2 \]
6. Полное ускорение:
   \[ a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{(2)^2 + (4t^2)^2} = \sqrt{4 + 16t^4} \text{ м/с}^2 \]

Значение полного ускорения зависит от момента времени \( t \). На фото указаны варианты для \( a_t \), а не для полного ускорения. Исходя из вариантов, скорее всего, в вопросе спрашивается тангенциальное ускорение в какой-то момент времени, или же есть ошибка в вариантах ответа. Если принять, что ищется тангенциальное ускорение, то оно равно 2 м/с².

Если вопрос предполагает конкретное значение, а варианты даны без указания времени, то возможно, имеется в виду момент, когда \( t=1 \) с, тогда \( a_t = 2 \) м/с², \( a_c = 4 \) м/с², \( a = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} \approx 4.47 \) м/с². Если \( t=2 \) с, то \( a_t = 2 \) м/с², \( a_c = 16 \) м/с², \( a = \sqrt{2^2 + 16^2} = \sqrt{4+256} = \sqrt{260} \approx 16.1 \) м/с². Если \( t=3 \) с, то \( a_t = 2 \) м/с², \( a_c = 36 \) м/с², \( a = \sqrt{2^2 + 36^2} = \sqrt{4+1296} = \sqrt{1300} \approx 36.05 \) м/с².

Если смотреть на варианты в таблице, то \( a_t = 2,4 \) м/с² и \( a_t = 0,24 \) м/с² не соответствуют рассчитанному \( a_t = 2 \) м/с².

Предположим, что в задании спрашивается только тангенциальное ускорение, и в вариантах ответа есть ошибка. Исходя из расчета, \( a_t = 2 \) м/с².

Если же принять, что один из вариантов \( a_t = 2,4 \) м/с² или \( a_t = 0,24 \) м/с² верен, то это означает, что либо радиус, либо формула, либо коэффициент в законе движения отличаются.

Ответ: 2 м/с² (если имеется в виду тангенциальное ускорение).