Диагонали трапеции ABCD являются биссектрисами её углов при большем основании AD. 1) Докажите, что трапеция ABCD — равнобедренная. 2) Докажите, что △AOD — равнобедренный (O — точка пересечения диагоналей).

Пусть \(AD\parallel BC\), а диагонали \(AC\) и \(BD\) — биссектрисы углов при основании \(AD\).

1) Так как \(AC\) — биссектриса угла \(DAB\), то \(\angle BAC=\angle CAD\). Из-за параллельности \(AD\parallel BC\) имеем \(\angle CAD=\angle ACB\). Следовательно, \(\angle BAC=\angle ACB\), поэтому \(AB=BC\).

Аналогично, поскольку \(BD\) — биссектриса угла \(CDA\), то \(\angle CDB=\angle BDA\). При \(AD\parallel BC\) \(\angle BDA=\angle DBC\), значит, \(\angle CDB=\angle DBC\), откуда \(CD=BC\). Следовательно, \(AB=CD\), то есть трапеция ABCD равнобедренная.

2) В равнобедренной трапеции диагонали равны: \(AC=BD\). Точка \(O\) лежит на обеих диагоналях, поэтому \(AC=AO+OC\), \(BD=BO+OD\). Из симметрии равнобедренной трапеции относительно перпендикуляра к основаниям следует \(AO=OD\). Значит, в треугольнике AOD две стороны равны, поэтому он равнобедренный.

Ответ: 1) \(AB=CD\); 2) \(AO=OD\), поэтому △AOD равнобедренный.