552 Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите: а) АВ, если ОВ-4 см, OD-10 см, DC-25 см; б) \frac{AO}{OC} и \frac{BO}{OD}, если AB=a, DC=b; в) АО, если АВ-9,6 дм, DC-24 см, АС-15 см.

а) Рассмотрим рисунок.

      A-------B
     /       \
    /       \
   O       
  /       \
 /       \
C-------D

Рассмотрим два треугольника ΔАОВ и ΔCOD. У них ∠AOB = ∠COD как вертикальные. ∠ABO = ∠CDO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. Следовательно, треугольники ΔАОВ и ΔCOD подобны по двум углам.

$$\frac{AB}{DC} = \frac{OB}{OD}$$

$$AB = \frac{DC \cdot OB}{OD} = \frac{25 \cdot 4}{10} = 10$$ см

б) Рассмотрим рисунок.

      A-------B
     /       \
    /       \
   O       
  /       \
 /       \
C-------D

Рассмотрим два треугольника ΔАОВ и ΔCOD. У них ∠AOB = ∠COD как вертикальные. ∠ABO = ∠CDO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. Следовательно, треугольники ΔАОВ и ΔCOD подобны по двум углам.

$$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac{a}{b}$$

в) Рассмотрим рисунок.

      A-------B
     /       \
    /       \
   O       
  /       \
 /       \
C-------D

Рассмотрим два треугольника ΔАОВ и ΔCOD. У них ∠AOB = ∠COD как вертикальные. ∠ABO = ∠CDO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. Следовательно, треугольники ΔАОВ и ΔCOD подобны по двум углам.

$$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD}$$

$$\frac{AO}{OC} = \frac{9,6}{24} = \frac{2}{5}$$

$$OC = AC - AO$$

$$\frac{AO}{15 - AO} = \frac{2}{5}$$

$$5AO = 2(15 - AO)$$

$$5AO = 30 - 2AO$$

$$7AO = 30$$

$$AO = \frac{30}{7} = 4\frac{2}{7}$$ дм

Ответ: а) 10 см; б) \frac{a}{b}; в) $$4\frac{2}{7}$$ дм