Диагонали параллелограмма равны $$8\sqrt{3}$$ см и 6 см. Вычислите угол между диагоналями параллелограмма, если его меньшая сторона равна $$\sqrt{21}$$ см. Ответ дайте в градусах.

Обозначим диагонали параллелограмма как $$d_1 = 8\sqrt{3}$$ см и $$d_2 = 6$$ см. Пусть меньшая сторона равна $$a = \sqrt{21}$$ см. Угол между диагоналями обозначим как $$\phi$$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой, связывающей стороны параллелограмма и его диагонали:

$$2(a^2 + b^2) = d_1^2 + d_2^2$$

где $$a$$ и $$b$$ - стороны параллелограмма, а $$d_1$$ и $$d_2$$ - его диагонали.

Подставим известные значения:

$$2((\sqrt{21})^2 + b^2) = (8\sqrt{3})^2 + 6^2$$

$$2(21 + b^2) = 64 \cdot 3 + 36$$

$$42 + 2b^2 = 192 + 36$$

$$2b^2 = 228 - 42$$

$$2b^2 = 186$$

$$b^2 = 93$$

$$b = \sqrt{93}$$

Теперь воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной параллелограмма. Пусть половина первой диагонали $$d_1/2 = 4\sqrt{3}$$ см, а половина второй диагонали $$d_2/2 = 3$$ см.

Рассмотрим треугольник со сторонами $$a = \sqrt{21}$$, $$d_1/2 = 4\sqrt{3}$$ и $$d_2/2 = 3$$. Тогда по теореме косинусов:

$$a^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 - 2 \cdot (d_1/2) \cdot (d_2/2) \cdot \cos(\phi/2)$$ $$21 = (4\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \cos(\phi/2)$$ $$21 = 48 + 9 - 24\sqrt{3} \cos(\phi/2)$$ $$21 = 57 - 24\sqrt{3} \cos(\phi/2)$$ $$24\sqrt{3} \cos(\phi/2) = 57 - 21$$

$$24\sqrt{3} \cos(\phi/2) = 36$$

$$\cos(\phi/2) = \frac{36}{24\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно,

$$\phi/2 = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$$

$$\phi = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$$

Но это угол между половинами диагоналей. Угол между диагоналями может быть как острым, так и тупым. Если найденный угол острый (60°), то другой угол будет тупым и равен 180° - 60° = 120°.

Проверим для второго треугольника со сторонами $$b = \sqrt{93}$$, $$d_1/2 = 4\sqrt{3}$$ и $$d_2/2 = 3$$:

$$93 = 48 + 9 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \cos(\phi/2)$$ $$93 = 57 - 24\sqrt{3} \cos(\phi/2)$$ $$24\sqrt{3} \cos(\phi/2) = 57 - 93$$

$$24\sqrt{3} \cos(\phi/2) = -36$$

$$\cos(\phi/2) = -\frac{36}{24\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно,

$$\phi/2 = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 150^\circ$$

$$\phi = 2 \cdot 150^\circ = 300^\circ$$

Так как угол между диагоналями не может быть больше 180°, нужно взять смежный угол:

$$360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$$

Тогда другой угол равен 180° - 60° = 120°.

Таким образом, углы между диагоналями параллелограмма равны 60° и 120°.

Ответ: 60