Диагонали MC и ND прямоугольника MNCD пересекаются в точке O, PΔOMN = 18 см, PΔOMD = 19 см. Найдите длину диагонали MC, если периметр данного прямоугольника равен 34 см.

Пусть MN = x, MD = y. Тогда периметр прямоугольника MNCD равен $$2(x + y) = 34$$, откуда $$x + y = 17$$.

Периметр треугольника OMN равен $$OM + ON + MN = 18$$. Периметр треугольника OMD равен $$OM + OD + MD = 19$$. Так как диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам, то $$ON = OD$$. Тогда, вычитая из второго уравнения первое, получим: $$(OM + OD + MD) - (OM + ON + MN) = 19 - 18$$, $$MD - MN = 1$$, $$y - x = 1$$.

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 17 \\ y - x = 1 \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$2y = 18$$, $$y = 9$$.

Тогда $$x = 17 - y = 17 - 9 = 8$$.

Диагональ MC найдем из прямоугольного треугольника MDC по теореме Пифагора:

$$MC = \sqrt{MD^2 + DC^2} = \sqrt{9^2 + 8^2} = \sqrt{81 + 64} = \sqrt{145}$$.

Ответ: $$MC = \sqrt{145}$$ см.