Диагональ прямоугольника равна 10 см, а периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).

Дано:

• Диагональ \( d = 10 \) см.
• Периметр \( P = 28 \) см.

Найти:

• Стороны \( a \) и \( b \).

Решение:

1. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \( P = 2(a+b) \). Подставим известные значения: \( 28 = 2(a+b) \).
2. Разделим обе части на 2: \( a+b = 14 \).
3. Диагональ прямоугольника связана со сторонами теоремой Пифагора: \( d^2 = a^2 + b^2 \). Подставим известные значения: \( 10^2 = a^2 + b^2 \), то есть \( a^2 + b^2 = 100 \).
4. Теперь у нас есть система уравнений:
• \( a+b = 14 \)
• \( a^2 + b^2 = 100 \)
5. Из первого уравнения выразим \( b \) через \( a \): \( b = 14-a \).
6. Подставим это выражение во второе уравнение: \( a^2 + (14-a)^2 = 100 \).
7. Раскроем скобки: \( a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100 \).
8. Приведём подобные слагаемые: \( 2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0 \).
9. Упростим: \( 2a^2 - 28a + 96 = 0 \).
10. Разделим всё уравнение на 2: \( a^2 - 14a + 48 = 0 \).
11. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4 \).
12. Найдем \( a \): \( a_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
13. \( a_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 2}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).
14. Если \( a = 8 \) см, то \( b = 14 - 8 = 6 \) см.
15. Если \( a = 6 \) см, то \( b = 14 - 6 = 8 \) см.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.