Диагональ AC ромба ABCD равна 30, а tg ∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали являются биссектрисами углов и взаимно перпендикулярны. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD.

Диагональ AC = 30, значит, \( AO = OC = ⅗ AC = ⅗ · 30 = 15 \).

В прямоугольном треугольнике BOC: \( ∠ BOC = 90^{\circ} \).

Нам дан \( tg ∠ BCA = ⅗ ∠ 3 = ⅗ ∠ 3 \).

В прямоугольном треугольнике BOC, \( tg ∠ BCA = ⅗ ∠ OB = ⅗ ∠ OC \).

\( ⅗ ∠ 3 = ⅗ ∠ OB = ⅗ ∠ 15 \).

\( OB = (⅗ ∠ 3) · 15 = 4 · 5 = 20 \).

Итак, \( OB = 20 \).

Диагональ BD = 2 · OB = 2 · 20 = 40.

Сторона ромба AB (или BC) находится по теореме Пифагора в \( △ BOC \):

\( BC^2 = OB^2 + OC^2 \)

\( BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 \).

\( BC = √625 = 25 \).

Радиус вписанной окружности в ромб равен высоте ромба, проведенной к одной из сторон.

Площадь ромба можно найти двумя способами:

1. \( S = ⅗ ∠ AC · BD = ⅗ ∠ 30 · 40 = 15 · 40 = 600 \).
2. \( S = a · h \), где \( a \) — сторона ромба, \( h \) — высота. В данном случае \( a = BC = 25 \).

\( 600 = 25 · h \).

\( h = ⅗ ∠ 600 ∠ 25 = 24 \).

Высота ромба равна радиусу вписанной окружности.

Ответ: 24.