Делится ли выражение m17 – m13 + m9 – m5 на 10?

1. Рассмотрим выражение: m¹⁷ – m¹³ + m⁹ – m⁵

2. Чтобы выражение делилось на 10, необходимо, чтобы оно заканчивалось на 0. Это значит, что сумма последних цифр должна быть равна 0 или 10.

3. Если m заканчивается на 0, 1, 5 или 6, то и все степени m будут заканчиваться на ту же цифру. В этом случае:

   • 0 - 0 + 0 - 0 = 0
   • 1 - 1 + 1 - 1 = 0
   • 5 - 5 + 5 - 5 = 0
   • 6 - 6 + 6 - 6 = 0

4. Если m заканчивается на 4 или 9:

   • Если m заканчивается на 4, то m¹⁷ заканчивается на 4 (так как 17 - нечетная степень), m¹³ заканчивается на 4, m⁹ заканчивается на 4, и m⁵ заканчивается на 4.
   • Если m заканчивается на 9, то m¹⁷ заканчивается на 9 (так как 17 - нечетная степень), m¹³ заканчивается на 9, m⁹ заканчивается на 9, и m⁵ заканчивается на 9.

   В этом случае:

   • 4 - 4 + 4 - 4 = 0
   • 9 - 9 + 9 - 9 = 0

5. Если m заканчивается на 2, 3, 7 или 8, то последние цифры степеней будут повторяться с периодом.

6. Проверим на примере m = 2:

   • 2⁵ = 32 (заканчивается на 2)
   • 2⁹ = 512 (заканчивается на 2)
   • 2¹³ = 8192 (заканчивается на 2)
   • 2¹⁷ = 131072 (заканчивается на 2)

   В этом случае: 2 - 2 + 2 - 2 = 0

7. Выражение всегда делится на 10.

Проверка за 10 секунд: Подставьте вместо m числа, заканчивающиеся на разные цифры, и убедитесь, что результат всегда делится на 10.

Доп. профит (Уровень Эксперт): Можно доказать, что выражение можно представить в виде m⁵(m¹² - m⁸ + m⁴ - 1), и проанализировать делимость каждого множителя на 2 и 5.