Дайте развернутый ответ. Постройте график функции y = |x| \cdot (x - 1) - 6x. Определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Преобразование функции:

\[ y = |x|(x - 1) - 6x \]

• Рассмотрим случай, когда \(x \ge 0\):

\[ y = x(x - 1) - 6x = x^2 - x - 6x = x^2 - 7x \]

• Рассмотрим случай, когда \(x < 0\):

\[ y = -x(x - 1) - 6x = -x^2 + x - 6x = -x^2 - 5x \]

Таким образом, функция имеет вид:

\[ y = \begin{cases} x^2 - 7x, & x \ge 0 \\ -x^2 - 5x, & x < 0 \end{cases} \]

Теперь построим график этой функции. Для \(x \ge 0\) это парабола с вершиной в точке \(x = \frac{7}{2}\), \(y = (\frac{7}{2})^2 - 7(\frac{7}{2}) = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} = -\frac{49}{4} = -12.25\).

Для \(x < 0\) это парабола с вершиной в точке \(x = -\frac{5}{2}\), \(y = -(-\frac{5}{2})^2 - 5(-\frac{5}{2}) = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} = \frac{25}{4} = 6.25\).

График функции состоит из двух парабол, соединенных в точке x=0, y=0.

Для определения, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, рассмотрим горизонтальные прямые. Две точки пересечения будут, когда прямая касается вершины одной из парабол, либо проходит через точку (0,0) и пересекает другую параболу.

Значения m:

• \(m = 6.25\)
• \(m = -12.25\)

Ответ: \(m = 6.25\), \(m = -12.25\)