Решение задачи 412:

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и катетом AC = 12 см. Также дан квадрат CDEF, две стороны которого лежат на катетах AC и BC, а вершина E - на гипотенузе AB.

Обозначим сторону квадрата CDEF как x. Тогда CF = CD = x.

Так как треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный, то AC = BC = 12 см.

Рассмотрим треугольник AFE. Он подобен треугольнику ABC (по двум углам: ∠A общий, ∠AFE = ∠ACB = 90°).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон: AF/AC = FE/BC.

Из рисунка видно, что AF = AC - CF = 12 - x, и FE = x. Подставляем эти значения в соотношение:

(12 - x) / 12 = x / 12

12 - x = x

2x = 12

x = 6

Итак, сторона квадрата CDEF равна 6 см.

Периметр квадрата равен 4 * сторона = 4 * 6 = 24 см.

Ответ: Периметр квадрата CDEF равен 24 см.