Решение:

Для доказательства того, что отрезок OM лежит в плоскости α, нам нужно показать, что обе точки O и M лежат в этой плоскости.

1. Точка O:

   По условию, точка O является точкой пересечения диагоналей AC и BD ромба ABCD. Также по условию, $$AB \cap \alpha = A$$. Поскольку ABCD - ромб, все его вершины (A, B, C, D) лежат в одной плоскости. Диагонали AC и BD лежат в плоскости ромба, и их пересечение O также лежит в этой плоскости. Так как $$AB \cap \alpha = A$$, и A принадлежит плоскости α, то плоскость ромба пересекает плоскость α по крайней мере в точке A.

   Однако, нам дано, что $$AB \cap \alpha = A$$. Это означает, что прямая AB пересекает плоскость α только в точке A. Поскольку ромб ABCD находится в другой плоскости, не совпадающей с α, и они пересекаются только по точке A, то точка O (пересечение диагоналей) не обязательно лежит в плоскости α.

2. Точка M:

   По условию, BM = MC, то есть M - середина стороны BC ромба ABCD. Нам нужно доказать, что M лежит в плоскости α. Так как ромб ABCD не лежит в плоскости α (кроме точки A), и мы не имеем информации, что сторона BC или точка M как-то связаны с плоскостью α, мы не можем автоматически утверждать, что M лежит в α.

3. Дополнительные рассуждения:

   Учитывая, что $$AB \cap \alpha = A$$, а M лежит на стороне BC ромба, и O - точка пересечения диагоналей, нам нужно рассмотреть дополнительные условия или построения, чтобы доказать, что OM лежит в плоскости α.

   Предположим, что плоскость α проходит через сторону AD ромба. Тогда все точки AD лежат в α. Поскольку O - середина AC, и M - середина BC, OM является средней линией в треугольнике ABC.

   Если AD || BC, то OM || AB. Поскольку A лежит в α (по условию), и если OM || AB, то OM также может лежать в α, если плоскость α содержит прямую, параллельную OM и проходящую через точку A.

   Без дополнительных условий или уточнений, невозможно строго доказать, что OM лежит в плоскости α, исходя только из предоставленных условий.

Вывод: На основе предоставленных данных и условий, невозможно однозначно доказать, что $$OM \subset \alpha$$. Требуются дополнительные условия или построения.