Решение:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Тогда AO : OA₁ = CO : OC₁ = 2 : 1.

Пусть OA₁ = x, тогда AO = 2x. Так как AA₁ = AO + OA₁ = 9 см, то 2x + x = 9, отсюда 3x = 9, и x = 3. Значит, OA₁ = 3 см, AO = 2 × 3 = 6 см.

Пусть OC₁ = y, тогда CO = 2y. Так как CC₁ = CO + OC₁ = 12 см, то 2y + y = 12, отсюда 3y = 12, и y = 4. Значит, OC₁ = 4 см, CO = 2 × 4 = 8 см.

Площадь треугольника AOC можно вычислить по формуле: $$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot CO \cdot sin∠AOC$$

$$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot sin120° = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$$

Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади. Значит, S(ΔAOC) = S(ΔBOC) = S(ΔAOB).

Тогда площадь треугольника ABC равна:

$$S_{ABC} = 3 \cdot S_{AOC} = 3 \cdot 12\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$$

Ответ: $$36\sqrt{3}$$ см².