5. Дана трапеция ABCD (AD | ВС), диагонали трапеции пересекаются в точке О, Ѕвос = 3см², SCOD = 6см². Найдите площадь трапеции АBCD.

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 27 см²

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ΔВОС и ΔAOD. Они подобны, так как ВС || AD (трапеция).

2. S_BOC / S_AOD = (BO/OD)², так как площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

3. Треугольники ΔВОС и ΔCOD имеют общую высоту (высота из вершины С к прямой BD), следовательно, их площади относятся как длины оснований: S_BOC / S_COD = BO / OD.

4. S_BOC = 3 см² и S_COD = 6 см², поэтому BO / OD = 3 / 6 = 1/2.

5. S_AOD = S_BOC / (BO/OD)² = 3 / (1/2)² = 3 / (1/4) = 12 см².

6. Треугольники ΔАОВ и ΔCOD равновелики (имеют равные площади), так как площадь трапеции можно выразить как сумму площадей этих треугольников и двух исходных треугольников S_ABCD = S_BOC + S_COD + S_AOD + S_AOB, и S_AOB = S_COD = 6 см².

7. S_ABCD = 3 + 6 + 12 + 6 = 27 см².

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 27 см²