5. Дана трапеция ABCD (AD || BC), диагонали трапеции пересекаются в точке О, Ѕвос = 3 см², SCOD = 6 см². Най- дите площадь трапеции ABCD.

Ответ: 27 см²

Решение:

Так как AD || BC, треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (вертикальные углы и накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2\]

Известно, что S_{BOC} = 3 см². Обозначим S_{AOD} = x. Тогда:

\[\frac{3}{x} = k^2\]

Треугольники AOB и COD имеют одинаковую высоту, проведенную из вершины O к основаниям AB и CD соответственно. Следовательно, отношение их площадей равно отношению длин оснований:

\[\frac{S_{BOC}}{S_{COD}} = \frac{BO}{OD}\] \[\frac{3}{6} = \frac{BO}{OD}\] \[\frac{BO}{OD} = \frac{1}{2}\]

Значит, коэффициент подобия k = 1/2. Тогда:

\[k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\]

Подставляем в первое уравнение:

\[\frac{3}{x} = \frac{1}{4}\] \[x = 3 \cdot 4 = 12\]

Итак, S_{AOD} = 12 см².

Треугольники AOB и COD равновелики, то есть их площади равны. Значит, S_{AOB} = S_{COD} = 6 см².

Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей всех четырех треугольников:

\[S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + S_{AOB} + S_{COD}\] \[S_{ABCD} = 3 + 12 + 6 + 6 = 27\]

Ответ: 27 см²