3. Дана функция у = х² - 3x²-45х +1. Найдите: промежутки возрастания и убывания функции.

Ответ: Функция возрастает на (-\infty; -\sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}; +\infty), убывает на (- \sqrt{15}; \sqrt{15}).

1. Находим производную функции:

   \[y = x^3 - 3x^2 - 45x + 1\]

   \[y' = 3x^2 - 6x - 45\]

2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

   \[3x^2 - 6x - 45 = 0\]

   \[x^2 - 2x - 15 = 0\]

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\]

   \[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5\]

   \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = -3\]

3. Определяем интервалы возрастания и убывания:

   Рассмотрим числовую прямую и отметим на ней критические точки -3 и 5. Определим знаки производной на каждом интервале.

   • При x < -3 (например, x = -4): y' = 3(-4)^2 - 6(-4) - 45 = 48 + 24 - 45 > 0 (функция возрастает)
   • При -3 < x < 5 (например, x = 0): y' = 3(0)^2 - 6(0) - 45 = -45 < 0 (функция убывает)
   • При x > 5 (например, x = 6): y' = 3(6)^2 - 6(6) - 45 = 108 - 36 - 45 > 0 (функция возрастает)

4. Записываем интервалы возрастания и убывания:

   • Функция возрастает на (-\infty; -3) и (5; +\infty).
   • Функция убывает на (-3; 5).

Ответ: Функция возрастает на (-\infty; -\sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}; +\infty), убывает на (- \sqrt{15}; \sqrt{15}).