Дан равносторонний треугольник АВС, CD – высота треугольника ABC, DE – высота треугольника ADC. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ, если DE = 5.

Так как ABC - равносторонний треугольник, все его углы равны 60°. CD - высота, поэтому треугольник ADC прямоугольный с ∠DAC = 60° и ∠ACD = 30°. DE - высота треугольника ADC, опущенная на сторону AC.

Расстояние от вершины C до прямой AB - это высота треугольника ABC, то есть CD.

В треугольнике ADC: ∠DAC = 60°, ∠ACD = 30°, DE - высота. Следовательно, DE = AD \( \cdot \) sin(60°) = AD \( \cdot \) √3 / 2

Так как ABC - равносторонний, AD = AC / 2.

Тогда DE = (AC / 2) \( \cdot \) sin(60°) = (AC / 2) \( \cdot \) √3 / 2 = 5

AC \( \cdot \) √3 / 4 = 5

AC = 20 / √3

CD - высота равностороннего треугольника ABC: CD = AC \( \cdot \) sin(60°) = AC \( \cdot \) √3 / 2 = (20 / √3) \( \cdot \) √3 / 2 = 10

В прямоугольном треугольнике CDE: ∠DCE = 30°, DE = 5. Следовательно, CE = DE \( \cdot \) cot(30°) = 5√3, CD = 2DE = 10

Треугольник ABC равносторонний, CD - высота, тогда AD = AC / 2

Из треугольника ADC: CD = AC \( \cdot \) sin(60°) = AC \( \cdot \) √3 / 2

AC = CD / (√3 / 2) = 2CD / √3

В треугольнике CDE: DE = CD \( \cdot \) sin(30°) = CD / 2

CD = 2DE = 2 \( \cdot \) 5 = 10

Тогда расстояние от вершины C до прямой AB равно CD = 20