Дан равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 4\), \(AM\) - его медиана. Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AM}\).

В равностороннем треугольнике медиана является также и высотой. Значит, угол \(BAM\) равен 30 градусам. Длина медианы \(AM\) равна половине стороны \(AC\), умноженной на корень из 3, то есть \(AM = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\).

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AM}\) равно произведению их длин на косинус угла между ними:

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AM}| \cdot \cos(30^\circ)$$

Подставим известные значения:

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$$

Ответ: 12