Дан равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB = BC. На основании расположены точки D и E так, что AD = EC, ∠CEB = 111°. Определи ∠EDB.

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств равнобедренного треугольника и углов.

1. Анализ условия:

• ABC - равнобедренный треугольник с AB = BC.
• AD = EC.
• ∠CEB = 111°.

2. Нахождение ∠BEC:

∠CEB и ∠BEC - смежные углы, значит, их сумма равна 180°.

$$∠BEC = 180° - ∠CEB = 180° - 111° = 69°$$

3. Равенство треугольников:

Рассмотрим треугольники ABD и BCE:

• AB = BC (по условию, как боковые стороны равнобедренного треугольника).
• AD = EC (по условию).
• ∠A = ∠C (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC).

Следовательно, треугольники ABD и BCE равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Нахождение ∠BDE:

Из равенства треугольников ABD и BCE следует, что ∠BCE = ∠BAD.

Также, ∠BDА = ∠BEC = 69°.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в треугольнике равна 180°:

$$∠ABD + ∠BDA + ∠BAD = 180°$$

$$∠ABD + 69° + ∠BAD = 180°$$

Выразим сумму ∠ABD + ∠BAD:

$$∠ABD + ∠BAD = 180° - 69° = 111°$$

5. Нахождение ∠BAC и ∠BCA:

Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны:

$$∠BAC = ∠BCA$$

$$2*∠BAC + ∠ABC = 180°$$

Мы знаем, что ∠ABD + ∠BAD = 111°, а ∠ABC + ∠ABD = ∠DBC, так как ∠ABD часть ∠ABC.

6. Нахождение ∠EDB:

Заметим, что ∠EBD + ∠ABD = ∠ABC, и ∠BAC = (180 - ∠ABC)/2. Также ∠ADB = 69°.

Рассмотрим ∠EDB = 180° - ∠ADE. ∠ADE = ∠ADB - ∠BDE.

Далее, мы знаем, что ∠BDC = 180 - ∠BDA = 180 - 69 = 111°.

Так как ∠BDA = 69°, то ∠BDE = 180 - ∠BDA - ∠ADE = 180 - 69 = 111°.

∠ADE + ∠EDB = 180° (смежные углы), значит ∠EDB = 180° - 69° = 111°.

Так как углы ∠BEC = ∠BDA, и AD = EC, а AB = BC, значит, ∠EBD = ∠DBA.

Тогда, ∠ABC = ∠ABD + ∠DBE + ∠EBC = ∠ABC.

Рассмотрим четырехугольник BDEC. ∠CEB = 111°. Так как сумма углов в четырехугольнике = 360°, то ∠EDB = 360° - ∠CEB - ∠DCE - ∠EBD. Так как ∠DCE = ∠BAC = ∠BCA. Значит, ∠EBD = ∠BAC - ∠BAD.

$$∠EDB = ∠BDA = 69°$$

Рассмотрим углы при основании AB и BC.

∠BAC = ∠BCA = (180 - ∠ABC)/2.

Учитывая все условия, можно найти ∠EBD.

7. Окончательный ответ:

$$∠EDB = 69°$$

Ответ: 69