3. Дан прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°), E∈ AC, Fe AB, EF \\ CB, EК - биссектриса треугольника AEF. Чему равен угол АЕК?

Т.к. EF || CB, то ∠AEF = ∠ABC (как соответственные углы при параллельных прямых EF и CB и секущей AB).

В прямоугольном треугольнике ABC ∠A + ∠B = 90°.

∠AEF = ∠ABC = 90° - ∠A.

Т.к. EK - биссектриса треугольника AEF, то ∠AEK = 1/2 * ∠AEF.

∠AEK = 1/2 * (90° - ∠A) = 45° - 1/2 * ∠A.

Т.к. сумма углов треугольника равна 180°, то ∠A + ∠AEF + ∠AFE = 180°.

∠AFE = 180° - ∠A - ∠AEF = 180° - ∠A - (90° - ∠A) = 90°.

В треугольнике AEF ∠AEF + ∠AFE + ∠EAF = 180°.

∠EAF = 180° - ∠AEF - ∠AFE.

Т.к. ∠AEK = 1/2 * ∠AEF = 45° - ∠A/2, значит, угол АЕК равен половине угла АЕF, который является острым углом в прямоугольном треугольнике AEF.

Ответ: 45°