575 Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA_1}\), где O — произвольная точка пространства.

Давай докажем это векторное равенство. Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1}\) и \(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA_1}\). Мы знаем, что \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A_1C_1}\) (так как это параллелепипед). Представим векторы \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC_1}\) как \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{A_1C_1}\). Сложим эти два выражения: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1} = (\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{A_1C_1})\). Так как \(\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC}\), мы можем переписать выражение как: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA_1}\). Таким образом, \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA_1}\), что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.