д) y = x³ + 3x² - 24x;

Решение:

Данное выражение представляет собой кубическую функцию.

1. Найдём производную функции: \( y' = (x^3 + 3x^2 - 24x)' = 3x^2 + 6x - 24 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 + 6x - 24 = 0 \).
3. Разделим уравнение на 3: \( x^2 + 2x - 8 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \). \( \sqrt{D} = 6 \).
5. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).
6. Определим тип экстремума, найдя вторую производную: \( y'' = (3x^2 + 6x - 24)' = 6x + 6 \).
7. Для \( x_1 = 2 \): \( y''(2) = 6(2) + 6 = 12 + 6 = 18 \). Так как \( y''(2) > 0 \), то в точке \( x = 2 \) находится минимум функции.
8. Для \( x_2 = -4 \): \( y''(-4) = 6(-4) + 6 = -24 + 6 = -18 \). Так как \( y''(-4) < 0 \), то в точке \( x = -4 \) находится максимум функции.
9. Найдём значения функции в точках экстремума:
• При \( x = 2 \): \( y = 2^3 + 3(2)^2 - 24(2) = 8 + 3(4) - 48 = 8 + 12 - 48 = 20 - 48 = -28 \).
• При \( x = -4 \): \( y = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 24(-4) = -64 + 3(16) + 96 = -64 + 48 + 96 = -16 + 96 = 80 \).

Ответ: Максимум функции в точке \( x = -4 \) равен \( y = 80 \). Минимум функции в точке \( x = 2 \) равен \( y = -28 \).