252*. Что вероятнее — выиграть у равного по силе противника: а) три партии из шести или четыре партии из восьми; б) более трёх партий из шести или более четырёх партий из восьми; в) более n партий из 2п или более п + 1 партий из 2n + 2?

Ответ: нужно считать вероятности.

Разбираемся:

а) Сравним вероятности:

• Выиграть 3 из 6: \[P_1 = C_6^3 * (\frac{1}{2})^3 * (\frac{1}{2})^3 = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}\]
• Выиграть 4 из 8: \[P_2 = C_8^4 * (\frac{1}{2})^4 * (\frac{1}{2})^4 = \frac{70}{256} = \frac{35}{128}\]

Так как \(\frac{5}{16} = \frac{40}{128} > \frac{35}{128}\), то вероятнее выиграть три партии из шести.

б) Сравним вероятности:

• Выиграть более 3 из 6: \[P_3 = P(4) + P(5) + P(6) = C_6^4 * (\frac{1}{2})^6 + C_6^5 * (\frac{1}{2})^6 + C_6^6 * (\frac{1}{2})^6 = \frac{15 + 6 + 1}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32}\]
• Выиграть более 4 из 8: \[P_4 = P(5) + P(6) + P(7) + P(8) = C_8^5 * (\frac{1}{2})^8 + C_8^6 * (\frac{1}{2})^8 + C_8^7 * (\frac{1}{2})^8 + C_8^8 * (\frac{1}{2})^8 = \frac{56 + 28 + 8 + 1}{256} = \frac{93}{256}\]

Так как \(\frac{11}{32} = \frac{88}{256} < \frac{93}{256}\), то вероятнее выиграть более четыре партий из восьми.

в) Сравним вероятности:

• Выиграть более n из 2n: \[P_5 = \sum_{k=n+1}^{2n} C_{2n}^k * (\frac{1}{2})^{2n}\]
• Выиграть более n+1 из 2n+2: \[P_6 = \sum_{k=n+2}^{2n+2} C_{2n+2}^k * (\frac{1}{2})^{2n+2}\]

Здесь без конкретных значений n сложно сказать, что вероятнее, но можно отметить, что при больших n обе вероятности стремятся к 0.5.

Ответ: нужно считать вероятности.