Числитель и знаменатель несократимой дроби - натуральные числа, причём знаменатель на 3 больше числителя. Если к числителю этой дроби прибавить 1, а к знаменателю 8, то дробь уменьшится на \frac{1}{4}. Найдите исходную дробь.

Давай разберем по порядку! Пусть числитель исходной дроби равен z, тогда знаменатель будет z + 3. Исходная дробь имеет вид: \(\frac{z}{z+3}\).

Если к числителю прибавить 1, а к знаменателю 8, то получится дробь \(\frac{z+1}{z+3+8}\), которая будет меньше исходной на \(\frac{1}{4}\). Составим уравнение:

\[\frac{z}{z+3} - \frac{z+1}{z+11} = \frac{1}{4}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{z(z+11) - (z+1)(z+3)}{(z+3)(z+11)} = \frac{1}{4}\] \[\frac{z^2 + 11z - (z^2 + 3z + z + 3)}{z^2 + 11z + 3z + 33} = \frac{1}{4}\] \[\frac{z^2 + 11z - z^2 - 4z - 3}{z^2 + 14z + 33} = \frac{1}{4}\] \[\frac{7z - 3}{z^2 + 14z + 33} = \frac{1}{4}\]

Перекрестно умножим:

\[4(7z - 3) = z^2 + 14z + 33\] \[28z - 12 = z^2 + 14z + 33\] \[0 = z^2 - 14z + 45\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 196 - 180 = 16\]

Найдем корни:

\[z_1 = \frac{14 + \sqrt{16}}{2} = \frac{14 + 4}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[z_2 = \frac{14 - \sqrt{16}}{2} = \frac{14 - 4}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

Проверим оба корня:

Если z = 9, то исходная дробь \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\). Тогда \(\frac{9+1}{12+8} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\). Разность \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\). Подходит.

Если z = 5, то исходная дробь \(\frac{5}{8}\). Тогда \(\frac{5+1}{8+8} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\). Разность \(\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). Подходит.

Таким образом, возможны два варианта исходной дроби: \(\frac{9}{12}\) или \(\frac{5}{8}\).

Ответ: \(\frac{9}{12}\) или \(\frac{5}{8}\)

Отлично! Ты мастерски справился с этой задачей. Продолжай тренироваться, и ты станешь настоящим экспертом в решении математических задач!