Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 120°, угол CAD равен 74°. Найдите угол ABD.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о вписанных углах и свойствах четырехугольников, вписанных в окружность.

1. Вписанный угол и дуга: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
2. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

Дано: $$ \angle ABC = 120^{\circ} $$, $$ \angle CAD = 74^{\circ} $$. Найти: $$ \angle ABD $$.

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°, можем найти угол ADC:$$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$
2. Угол ABD опирается на ту же дугу, что и угол ACD. Следовательно, они равны:$$\angle ABD = \angle ACD$$
3. Найдем угол ACD, зная угол CAD и угол ADC в треугольнике ACD:$$\angle ACD = 180^{\circ} - (\angle CAD + \angle ADC) = 180^{\circ} - (74^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 134^{\circ} = 46^{\circ}$$
4. Так как $$ \angle ABD = \angle ACD $$, то:$$\angle ABD = 46^{\circ}$$

Ответ: 46