16. Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность. Прямые $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$L$$, $$BL = 7$$, $$DL = 21$$, $$BC = 4$$ (см. рис. 188). Найдите $$AD$$.

Давайте решим эту задачу по геометрии. Поскольку четырехугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, мы можем использовать свойство секущихся: произведение длин отрезков одной секущей равно произведению длин отрезков другой секущей. В данном случае у нас есть две секущие: $$LB$$ и $$LA$$, а также $$LC$$ и $$LD$$. Таким образом, выполняется равенство: $$LB \cdot LA = LD \cdot LC$$ Мы знаем, что $$BL = 7$$, $$DL = 21$$ и $$BC = 4$$. Обозначим $$AD = x$$. Тогда: $$LB \cdot (LB + AB) = LC \cdot (LC + CD)$$ У нас нет информации об отрезках $$AB$$ и $$CD$$. Однако мы можем воспользоваться подобием треугольников $$LBC$$ и $$LDA$$. Так как четырехугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, углы $$\angle LBC = \angle LDA$$ и $$\angle LCB = \angle LAD$$. Следовательно, треугольники $$LBC$$ и $$LDA$$ подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорция: $$\frac{LB}{LD} = \frac{BC}{AD}$$ Подставим известные значения: $$\frac{7}{21} = \frac{4}{x}$$ $$\frac{1}{3} = \frac{4}{x}$$ $$x = 3 \cdot 4$$ $$x = 12$$ Таким образом, $$AD = 12$$. **Ответ: 12**