11. Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1:2, считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его осно- ванию, если объём всего конуса равен 54?

Пусть $$V$$ - объем всего конуса, $$V = 54$$. Плоскость, параллельная основанию, делит конус на две части: малый конус и усеченный конус. Высота малого конуса составляет $$\frac{1}{3}$$ высоты всего конуса. Объем малого конуса $$V_1$$ относится к объему всего конуса $$V$$ как куб отношения их высот. То есть,

$$\frac{V_1}{V} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$.

Отсюда, $$V_1 = \frac{1}{27} V = \frac{1}{27} \cdot 54 = 2$$.

Объем части конуса, примыкающей к основанию (усеченного конуса), равен разности объемов всего конуса и малого конуса:

$$V_{\text{усеч}} = V - V_1 = 54 - 2 = 52$$.

Ответ: 52