Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В – точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D – точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите \(\angle BAD\) и \(\angle ADB\), если \(\stackrel{\frown}{BD} = 110^\circ 20'\).

Дано: окружность с центром O, касательная AB, секущая AD, $$ \stackrel{\frown}{BD} = 110^\circ 20' $$. Найти: $$\angle BAD$$ и $$\angle ADB$$. Решение: 1. Рассмотрим треугольник $$ \triangle BOD $$. Так как OB и OD - радиусы окружности, то $$OB = OD$$, следовательно, треугольник $$ \triangle BOD $$ - равнобедренный. Тогда $$\angle OBD = \angle ODB$$. 2. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому: $$\angle BOD + \angle OBD + \angle ODB = 180^\circ$$ Так как $$ \angle OBD = \angle ODB $$, то $$\angle BOD + 2 \angle ODB = 180^\circ$$ Выразим $$\angle ODB$$: $$\angle ODB = \frac{180^\circ - \angle BOD}{2}$$ 3. Центральный угол $$ \angle BOD $$ равен дуге, на которую он опирается, то есть $$ \angle BOD = \stackrel{\frown}{BD} = 110^\circ 20' $$. 4. Подставим значение $$ \angle BOD $$ в выражение для $$ \angle ODB $$: $$\angle ODB = \frac{180^\circ - 110^\circ 20'}{2} = \frac{69^\circ 40'}{2} = 34^\circ 50'$$ Таким образом, $$\angle ADB = 34^\circ 50' $$. 5. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними, то есть: $$\angle BAD = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{BD} = \frac{1}{2} \cdot 110^\circ 20' = 55^\circ 10'$$ Ответ: $$\angle BAD = 55^\circ 10'$$ и $$\angle ADB = 34^\circ 50'$$