9. Часть С. Высота предмета равна 5 см. Линза дает на экране изображение высотой 15 см. Предмет передвинули на 1.5 см от линзы и передвинув экран на некоторое расстояние, снова получили четкое изображение высотой 10 см. Найти фокусное расстояние линзы.

Ответ:

Пусть: h = 5 см - высота предмета, H₁ = 15 см - высота первого изображения, H₂ = 10 см - высота второго изображения, d₁ - расстояние от предмета до линзы в первом случае, F₁ - расстояние от линзы до изображения в первом случае, d₂ = d₁ + 1.5 см - расстояние от предмета до линзы во втором случае, F₂ - расстояние от линзы до изображения во втором случае, f - фокусное расстояние линзы. Увеличение линзы в первом случае: \[Г_1 = \frac{H_1}{h} = \frac{15}{5} = 3\] Увеличение линзы во втором случае: \[Г_2 = \frac{H_2}{h} = \frac{10}{5} = 2\] Используем формулу увеличения линзы: \[Г = \frac{F}{d}\] Тогда: \[\frac{F_1}{d_1} = 3 \Rightarrow F_1 = 3d_1\] \[\frac{F_2}{d_2} = 2 \Rightarrow F_2 = 2d_2 = 2(d_1 + 1.5) = 2d_1 + 3\] Запишем формулу тонкой линзы для обоих случаев: \[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{F_1} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{3d_1} = \frac{4}{3d_1}\] \[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{F_2} = \frac{1}{d_1 + 1.5} + \frac{1}{2d_1 + 3} = \frac{2}{d_1 + 1.5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2d_1 + 3} = \frac{3}{(d_1+1.5) \cdot 2}\] Приравняем оба выражения для 1/f: \[\frac{4}{3d_1} = \frac{3}{2(d_1 + 1.5)}\] \[8(d_1 + 1.5) = 9d_1\] \[8d_1 + 12 = 9d_1\] \[d_1 = 12 \,\text{см}\] Тогда: \[\frac{1}{f} = \frac{4}{3d_1} = \frac{4}{3 \cdot 12} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\] \[f = 9 \,\text{см}\]

Ответ: 9 см

Проверка за 10 секунд: Реши систему уравнений для двух положений линзы.

Уровень Эксперт: Такие задачи требуют хорошего знания формулы линзы и умения решать системы уравнений.