Часть 2. 1. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6.

Решение:

1. Обозначения: Пусть точки касания будут B и C. Угол между касательными ∠BAC = 60°. Расстояние от точки А до центра окружности AO = 6.
2. Свойства касательных: Радиусы, проведенные в точки касания (OB и OC), перпендикулярны касательным (AB и AC). То есть ∠ABO = ∠ACO = 90°.
3. Четырехугольник ABOC: Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. ∠BOC = 360° - ∠BAC - ∠ABO - ∠ACO = 360° - 60° - 90° - 90° = 120°.
4. Треугольник ABO: Треугольник ABO — прямоугольный. AO — гипотенуза, AB и OB — катеты.
5. Биссектриса угла: Линия AO является биссектрисой угла ∠BAC (так как треугольник ABC равнобедренный, а AO проходит через центр и вершину угла между касательными). Поэтому ∠BAO = ∠BAC / 2 = 60° / 2 = 30°.
6. Нахождение радиуса: В прямоугольном треугольнике ABO, OB (радиус) является катетом, противолежащим углу ∠BAO. Используем синус:
   \[ \sin(\angle BAO) = \frac{OB}{AO} \]
   \[ \sin(30°) = \frac{OB}{6} \]
   \[ \frac{1}{2} = \frac{OB}{6} \]
   \[ OB = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \]

Ответ: 3