1.В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что АС = 64 и BC = BM. Найдите АН.

Решение:

1. Условие: В треугольнике ABC BM — медиана, BH — высота. AC = 64, BC = BM. Требуется найти AH.
2. Анализ: Так как BC = BM, то треугольник BCM равнобедренный. BH — высота, а значит, она также является медианой и биссектрисой в равнобедренном треугольнике BCM. Следовательно, CH = HM.
3. Использование медианы: BM — медиана, значит, AM = MC.
4. Сопоставление: Из равенств CH = HM и AM = MC следует, что M — середина AC, а H — середина MC.
5. Вывод: Так как AC = 64, то MC = 64 / 2 = 32. H — середина MC, значит, CH = HM = 32 / 2 = 16. AH = AM + MH. AM = MC = 32. AH = 32 + 16 = 48.

Ответ: 48