CA1-?

Решение:

В \( \triangle ABC \) \( \angle C = 90^{\circ} \). \( \angle B = 150^{\circ} \) — это внешний угол, значит \( \angle ABC = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).

\( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

\( A_1 \) — точка на \( BC \). \( AA_1 \) — отрезок.

\( \angle CAA_1 = 20^{\circ} \).

Значит, \( \angle BA A_1 = \angle BAC - \angle CAA_1 = 60^{\circ} - 20^{\circ} = 40^{\circ} \).

Мы хотим найти \( CA_1 \).

В \( \triangle ACA_1 \): \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle CAA_1 = 20^{\circ} \).

\( \angle CA_1 A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ} \).

Мы не знаем ни одной стороны.

Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \), \( \angle A = 60^{\circ} \).

Пусть \( AC = x \).

Тогда \( BC = AC \tan(60^{\circ}) = x\sqrt{3} \).

\( AB = \frac{AC}{\sin(30^{\circ})} = \frac{x}{1/2} = 2x \).

В \( \triangle ACA_1 \): \( CA_1 \) — катет, противолежащий углу \( 20^{\circ} \) (это \( \angle CAA_1 \)).

\( CA_1 = AC \tan(20^{\circ}) = x \tan(20^{\circ}) \).

Ответ: CA1 = AC \(\tan(20^{\circ})\)