Брусок массой m = 2 кг имеет форму параллелепипеда. Лежа на одной из граней, он оказывает давление р1 = 1 кПа, лежа на другой — давление 2 кПа, стоя на третьей — давление 4 кПа. Каковы размеры бруска?

Решение:

Давление \( P \) связано с силой \( F \) (в данном случае вес бруска \( F = m \cdot g \)) и площадью \( S \) по формуле \( P = \frac{F}{S} \). Отсюда площадь \( S = \frac{F}{P} = \frac{m \cdot g}{P} \). Ускорение свободного падения \( g \approx 9.8 \) м/с².

Переведём давление в Па: \( p_1 = 1 \text{ кПа} = 1000 \text{ Па} \), \( p_2 = 2 \text{ кПа} = 2000 \text{ Па} \)$$, \( p_3 = 4 \text{ кПа} = 4000 \text{ Па} \)$$.

1. Площадь грани, на которой брусок оказывает давление \( p_1 \):

\[ S_1 = \frac{2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{1000 \text{ Па}} = \frac{19.6}{1000} \text{ м}^2 = 0.0196 \text{ м}^2 \]

2. Площадь грани, на которой брусок оказывает давление \( p_2 \):

\[ S_2 = \frac{2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{2000 \text{ Па}} = \frac{19.6}{2000} \text{ м}^2 = 0.0098 \text{ м}^2 \]

3. Площадь грани, на которой брусок оказывает давление \( p_3 \):

\[ S_3 = \frac{2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{4000 \text{ Па}} = \frac{19.6}{4000} \text{ м}^2 = 0.0049 \text{ м}^2 \]

Пусть размеры бруска — \( a \), \( b \) и \( c \). Тогда площади граней:

\[ S_1 = ab \quad S_2 = bc \quad S_3 = ac \]

Переведём площади в см²:

\[ S_1 = 0.0196 \text{ м}^2 = 196 \text{ см}^2 \quad S_2 = 0.0098 \text{ м}^2 = 98 \text{ см}^2 \quad S_3 = 0.0049 \text{ м}^2 = 49 \text{ см}^2 \]

Имеем систему уравнений:

1. \( ab = 196 \)
2. \( bc = 98 \)
3. \( ac = 49 \)

Перемножим все три уравнения:

\[ (ab)(bc)(ac) = 196 98 49 \]

\[ a^2 b^2 c^2 = (ab c)^2 = 9604 49 = 470596 \]

\[ abc = \sqrt{470596} = 686 \]

Теперь найдём размеры:

\[ c = \frac{abc}{ab} = \frac{686}{196} = 3.5 \text{ см} \]

\[ a = \frac{abc}{bc} = \frac{686}{98} = 7 \text{ см} \]

\[ b = \frac{abc}{ac} = \frac{686}{49} = 14 \text{ см} \]

Проверим площадьы:

\[ ab = 7 14 = 98 \text{ см}^2 \text{ (ошибка в предыдущих расчетах, S2 должно быть 98)} \]

\[ bc = 14 3.5 = 49 \text{ см}^2 \text{ (ошибка в предыдущих расчетах, S3 должно быть 49)} \]

\[ ac = 7 3.5 = 24.5 \text{ см}^2 \text{ (ошибка в предыдущих расчетах, S1 должно быть 24.5)} \]

Пересчитаем площади в м²:

\[ S_1 = \frac{19.6}{1000} \text{ м}^2 = 0.0196 \text{ м}^2 \]

\[ S_2 = \frac{19.6}{2000} \text{ м}^2 = 0.0098 \text{ м}^2 \]

\[ S_3 = \frac{19.6}{4000} \text{ м}^2 = 0.0049 \text{ м}^2 \]

Переведём площади в см²:

\[ S_1 = 0.0196 10000 = 196 \text{ см}^2 \]

\[ S_2 = 0.0098 10000 = 98 \text{ см}^2 \]

\[ S_3 = 0.0049 10000 = 49 \text{ см}^2 \]

Теперь система:

1. \( ab = 196 \)
2. \( bc = 98 \)
3. \( ac = 49 \)

\[ (abc)^2 = 196 98 49 = 941192 \]

\[ abc = \sqrt{941192} \approx 970.15 \text{ см}^3 \]

\[ c = \frac{abc}{ab} = \frac{970.15}{196} \approx 4.95 \text{ см} \]

\[ a = \frac{abc}{bc} = \frac{970.15}{98} \approx 9.90 \text{ см} \]

\[ b = \frac{abc}{ac} = \frac{970.15}{49} \approx 19.80 \text{ см} \]

Проверим:

\[ ab = 9.90 19.80 \approx 196.02 \text{ см}^2 \]

\[ bc = 19.80 4.95 \approx 98.01 \text{ см}^2 \]

\[ ac = 9.90 4.95 \approx 49.005 \text{ см}^2 \]

Ответ: Размеры бруска примерно 9.9 см, 19.8 см и 4.95 см.