Брусок массой m = 2 кг имеет форму параллелепипеда. Лежа на одной из граней, он оказывает давление р1 = 1 кПа, лежа на другой — давление 2 кПа, стоя на третьей — давление 4 кПа. Каковы размеры бруска?

Решение:

Давление \( P \) связано с силой \( F \) (в данном случае вес бруска, \( F = m · g \)) и площадью опоры \( S \) формулой \( P = \frac{F}{S} \). Примем \( g = 10 \text{ м/с}^2 \).

1. Рассчитаем вес бруска:
• \( F = m · g = 2 \text{ кг} · 10 \text{ м/с}^2 = 20 \text{ Н} \)
2. Найдем площади граней бруска:
• Площадь опоры \( S \) равна \( \frac{F}{P} \).
• Первая грань (давление \( P_1 = 1 \text{ кПа} = 1000 \text{ Па} \)):
• \( S_1 = \frac{20 \text{ Н}}{1000 \text{ Па}} = 0.02 \text{ м}^2 \)
• Вторая грань (давление \( P_2 = 2 \text{ кПа} = 2000 \text{ Па} \)):
• \( S_2 = \frac{20 \text{ Н}}{2000 \text{ Па}} = 0.01 \text{ м}^2 \)
• Третья грань (давление \( P_3 = 4 \text{ кПа} = 4000 \text{ Па} \)):
• \( S_3 = \frac{20 \text{ Н}}{4000 \text{ Па}} = 0.005 \text{ м}^2 \)
3. Определим размеры бруска:
• Пусть размеры бруска равны \( a, b, c \). Тогда площади граней: \( ab, bc, ac \).
• Пусть \( S_1 = ab = 0.02 \text{ м}^2 \), \( S_2 = bc = 0.01 \text{ м}^2 \), \( S_3 = ac = 0.005 \text{ м}^2 \).
• Перемножим площади: \( S_1 · S_2 · S_3 = (ab)(bc)(ac) = a^2 b^2 c^2 = (abc)^2 \)
• \( (abc)^2 = 0.02 · 0.01 · 0.005 = 0.000001 \text{ м}^6 \)
• Объем \( V = abc = √{0.000001} = 0.001 \text{ м}^3 \)
• Теперь найдем размеры:
• \( c = \frac{V}{S_1} = \frac{0.001 \text{ м}^3}{0.02 \text{ м}^2} = 0.05 \text{ м} \)
• \( a = \frac{V}{S_2} = \frac{0.001 \text{ м}^3}{0.01 \text{ м}^2} = 0.1 \text{ м} \)
• \( b = \frac{V}{S_3} = \frac{0.001 \text{ м}^3}{0.005 \text{ м}^2} = 0.2 \text{ м} \)

Проверим площади: \( ab = 0.1 · 0.2 = 0.02 \text{ м}^2 \), \( bc = 0.2 · 0.05 = 0.01 \text{ м}^2 \), \( ac = 0.1 · 0.05 = 0.005 \text{ м}^2 \). Размеры бруска: 0.1 м, 0.2 м, 0.05 м.

Ответ: Размеры бруска 0.1 м, 0.2 м, 0.05 м.