71. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3 : 4, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его основание равно 12 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$AC = 12$$ см. Пусть $$B$$ - вершина, а $$AC$$ - основание. Вписанная окружность касается боковой стороны $$AB$$ в точке $$D$$, причем $$BD : DA = 3 : 4$$. Пусть $$BD = 3x$$, а $$DA = 4x$$. Тогда боковая сторона $$AB = 3x + 4x = 7x$$. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, $$AD = AE = 4x$$, где $$E$$ - точка касания вписанной окружности со стороной $$AC$$. Также, $$CE = AC - AE = 12 - 4x$$. Поскольку треугольник равнобедренный, то $$BC = AB$$, и точка касания $$F$$ стороны $$BC$$ с окружностью такова, что $$BF = BD = 3x$$ и $$FC = CE = 12 - 4x$$. Итак, $$BC = BF + FC = 3x + (12 - 4x) = 12 - x$$. Тогда $$7x = 12 - x$$, откуда $$8x = 12$$, и $$x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$$ см. Следовательно, боковая сторона $$AB = 7x = 7 \cdot 1.5 = 10.5$$ см. **Ответ: 10.5 см**