5. Бодрящий эффект, который оказывает кофе, объясняется действием входящего в его состав химического вещества – кофеина. Для приготовления холодного кофе со льдом – «фраппе» – в чашку налили кипящий кофе массой т₁ = 200 г при температуре t₁ = 100 °С и добавили туда лёд при температуре to = 0 °С. Когда лёд растаял, оказалось, что температура получившегося напитка t₂ = 30 °С. Теплообменом напитка с окружающей средой и чашкой можно пренебречь. Удельные теплоёмкости воды и напитка одинаковы и равны с = 4200 Дж/(кг· °С), удельная теплота плавления льда λ = 330 кДж/кг. 1) Какое количество теплоты напиток отдал льду при охлаждении? 2) Какая масса льда была добавлена в напиток? 3) Во сколько раз уменьшилась концентрация кофеина в напитке? Концентрация кофеина – это отношение массы кофеина к массе всего напитка. Полученный ответ округлить до десятых долей.

Решение:

1) Какое количество теплоты напиток отдал льду при охлаждении?

Количество теплоты, отданное кофе, рассчитывается по формуле:

$$Q = m_1 \cdot c \cdot (t_1 - t_2)$$, где:

• $$m_1 = 0.2 \text{ кг}$$ - масса кофе (200 г = 0.2 кг);
• $$c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$$ - удельная теплоемкость кофе;
• $$t_1 = 100 \text{ °C}$$ - начальная температура кофе;
• $$t_2 = 30 \text{ °C}$$ - конечная температура кофе.

Подставим значения:

$$Q = 0.2 \cdot 4200 \cdot (100 - 30) = 0.2 \cdot 4200 \cdot 70 = 58800 \text{ Дж} = 58.8 \text{ кДж}$$

2) Какая масса льда была добавлена в напиток?

Лед сначала плавится, а затем нагревается до конечной температуры напитка. Количество теплоты, необходимое для плавления льда:

$$Q_{плавл} = λ \cdot m_{льда}$$, где:

• $$λ = 330 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}} = 330000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$$ - удельная теплота плавления льда;
• $$m_{льда}$$ - масса льда.

Количество теплоты, необходимое для нагревания растаявшего льда (воды) от 0 °C до t₂ = 30 °C:

$$Q_{нагр} = m_{льда} \cdot c \cdot (t_2 - t_0)$$, где:

• $$c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$$ - удельная теплоемкость воды;
• $$t_0 = 0 \text{ °C}$$ - начальная температура льда (и воды после плавления).

Суммарное количество теплоты, полученное льдом:

$$Q_{общ} = Q_{плавл} + Q_{нагр} = λ \cdot m_{льда} + m_{льда} \cdot c \cdot (t_2 - t_0) = m_{льда} \cdot (λ + c \cdot (t_2 - t_0))$$

Это количество теплоты равно количеству теплоты, отданному кофе:

$$Q = Q_{общ}$$ $$58800 = m_{льда} \cdot (330000 + 4200 \cdot (30 - 0))$$ $$58800 = m_{льда} \cdot (330000 + 126000)$$ $$58800 = m_{льда} \cdot 456000$$ $$m_{льда} = \frac{58800}{456000} ≈ 0.129 \text{ кг}$$

3) Во сколько раз уменьшилась концентрация кофеина в напитке? Концентрация кофеина – это отношение массы кофеина к массе всего напитка.

Пусть $$m_{кофеина}$$ - масса кофеина в исходном кофе. Тогда начальная концентрация кофеина:

$$C_1 = \frac{m_{кофеина}}{m_1}$$, где $$m_1 = 0.2 \text{ кг}$$ - масса исходного кофе.

После добавления льда масса напитка увеличилась:

$$m_{итог} = m_1 + m_{льда} = 0.2 + 0.129 = 0.329 \text{ кг}$$

Конечная концентрация кофеина:

$$C_2 = \frac{m_{кофеина}}{m_{итог}} = \frac{m_{кофеина}}{0.329}$$

Отношение начальной концентрации к конечной:

$$\frac{C_1}{C_2} = \frac{\frac{m_{кофеина}}{0.2}}{\frac{m_{кофеина}}{0.329}} = \frac{0.329}{0.2} ≈ 1.645$$

Округлим до десятых:

$$\frac{C_1}{C_2} ≈ 1.6$$

Ответ:

1. 58.8 кДж
2. ≈ 0.129 кг
3. ≈ в 1.6 раз