11. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника. Определите угол, противолежащий основанию.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник с основанием AC, и биссектриса угла A равна AC. Обозначим угол BAC = углу BCA = 2x. Тогда половина угла A, то есть угол, образованный биссектрисой, равен x. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D, и AD = AC. В треугольнике ADC, AD = AC, следовательно, угол ADC = углу ACD = 2x. Угол BAD = углу DAC = x. Угол ADC - внешний угол для треугольника ABD, следовательно, угол ADC = углу ABD + углу BAD, то есть 2x = углу ABD + x. Отсюда угол ABD = x. Тогда в треугольнике ABC угол BAC = 2x, угол BCA = 2x, угол ABC = x. Сумма углов треугольника ABC равна 180 градусам: 2x + 2x + x = 180. Следовательно, 5x = 180, и x = 36. Тогда угол BAC = 2 * 36 = 72 градуса. Угол ABC = 36 градусов. Угол ACB = 72 градуса. Ответ: Угол, противолежащий основанию, равен 36°.