Билет №9. 1. Логарифмы. Свойства логарифмов 2. Найти целые решения неравенства 3.9* +11.3* < 4 на отрезке [-3; 3] 3. Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости

Решение:

1. Свойства логарифмов:
   \( \log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \)
   \( \log_a(b / c) = \log_a b - \log_a c \)
   \( \log_a(b^k) = k \log_a b \)
   \( \log_a a = 1 \)
   \( \log_a 1 = 0 \)
2. Решение неравенства:
   \( 3 w 9^x + 11 w 3^x < 4 \)
   Замена: \( y = 3^x \). Так как \( x \in [-3; 3] \), то \( y = 3^x \) принимает значения от \( 3^{-3} = \frac{1}{27} \) до \( 3^3 = 27 \).
   \( 3(3^x)^2 + 11 w 3^x < 4 \)
   \( 3y^2 + 11y - 4 < 0 \)
   Найдём корни уравнения \( 3y^2 + 11y - 4 = 0 \):
   \( D = 11^2 - 4 w 3 w (-4) = 121 + 48 = 169 \)
   \( y_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{2 w 3} = \frac{-11 \pm 13}{6} \)
   \( y_1 = \frac{-11 - 13}{6} = \frac{-24}{6} = -4 \)
   \( y_2 = \frac{-11 + 13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
   Неравенство \( 3y^2 + 11y - 4 < 0 \) выполняется при \( -4 < y < \frac{1}{3} \).
   Учитывая, что \( y = 3^x \) и \( y > 0 \), получаем \( 0 < y < \frac{1}{3} \).
   \( 0 < 3^x < \frac{1}{3} \)
   \( 3^x < 3^{-1} \)
   \( x < -1 \)
   Учитывая отрезок \( [-3; 3] \), целые решения: \( x = -3, -2 \).
3. Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости: Если прямая перпендикулярна одной прямой, лежащей в плоскости, то она перпендикулярна и всей плоскости.

Ответ: 1. Свойства логарифмов; 2. Целые решения: x = -3, -2; 3. Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости.