Билет №11. 1. Логарифмическая функция её свойства и график 2. Найти целые решения неравенства 9* - 3* - 6>0 на отрезке [-3; 3] 3. Угол между прямой и плоскостью

Решение:

1. Логарифмическая функция: \( y = \log_a x \)
   Свойства:
   1. Область определения: \( x > 0 \).
   2. Область значений: \( R \).
   3. Если \( a > 1 \), функция возрастает. Если \( 0 < a < 1 \), функция убывает.
   4. График проходит через точку \( (1; 0) \).
   5. Имеет вертикальную асимптоту \( x = 0 \).
   График:
   При \( a > 1 \) график идет вверх (как \( \log_2 x \)).
   При \( 0 < a < 1 \) график идет вниз (как \( \log_{0.5} x \)).
2. Решение неравенства:
   \( 9^x - 3^x - 6 > 0 \)
   Замена: \( y = 3^x \). Так как \( x w [-3; 3] \), то \( y w [1/27; 27] \).
   \( (3^x)^2 - 3^x - 6 > 0 \)
   \( y^2 - y - 6 > 0 \)
   Найдём корни уравнения \( y^2 - y - 6 = 0 \):
   \( D = (-1)^2 - 4 w 1 w (-6) = 1 + 24 = 25 \)
   \( y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \)
   \( y_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)
   \( y_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)
   Неравенство \( y^2 - y - 6 > 0 \) выполняется при \( y < -2 \) или \( y > 3 \).
   Учитывая, что \( y = 3^x > 0 \), имеем \( y > 3 \).
   \( 3^x > 3 \)
   \( 3^x > 3^1 \)
   \( x > 1 \)
   Учитывая отрезок \( [-3; 3] \), целые решения: \( x = 2, 3 \).
3. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.

Ответ: 1. Свойства логарифмической функции (возрастание/убывание, область определения/значений, асимптота). 2. Целые решения: x = 2, 3. 3. Угол между прямой и плоскостью.