Билет №7: 1. Площадь трапеции (с доказательством). 2. Решение прямоугольного треугольника по катету и острому углу.

Справка:

• Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие стороны не параллельны (боковые стороны).
• Решение прямоугольного треугольника — нахождение всех его сторон и углов.

Разбор:

• 1. Площадь трапеции:
  • Формула: \( S = rac{oldsymbol{oldsymbol{ ext{a}}} + oldsymbol{oldsymbol{ ext{b}}}}{2} oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} oldsymbol{oldsymbol{ ext{h}}} \), где \( a \) и \( b \) — длины оснований трапеции, \( h \) — высота трапеции.
  • Доказательство: Проведем диагональ BD в трапеции ABCD. Диагональ делит трапецию на два треугольника: ABD и BCD. Площадь треугольника ABD равна \( S_{ABD} = rac{1}{2} oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} AB oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} h \) (где AB — основание, h — высота). Площадь треугольника BCD равна \( S_{BCD} = rac{1}{2} oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} CD oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} h \) (где CD — основание, h — высота). Сумма площадей этих треугольников равна площади трапеции: \( S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD} = rac{1}{2} oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} AB oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} h + rac{1}{2} oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} CD oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} h = rac{1}{2} h (oldsymbol{oldsymbol{ ext{AB}}} + oldsymbol{oldsymbol{ ext{CD}}}) \). Таким образом, площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
• 2. Решение прямоугольного треугольника по катету и острому углу:
  • Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где C — прямой угол. Известен катет \( AC \) и острый угол \( oldsymbol{oldsymbol{ ext{ extdegree}}}} \) (например, при вершине A).
  • Находим второй катет (BC): Используем тангенс угла A: \( oldsymbol{oldsymbol{ ext{tg}}} oldsymbol{oldsymbol{ ext{A}}}} = rac{BC}{AC} \). Отсюда \( BC = AC oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} oldsymbol{oldsymbol{ ext{tg}}} oldsymbol{oldsymbol{ ext{A}}}} \).
  • Находим гипотенузу (AB): Используем косинус угла A: \( oldsymbol{oldsymbol{ ext{cos}}} oldsymbol{oldsymbol{ ext{A}}}} = rac{AC}{AB} \). Отсюда \( AB = rac{AC}{oldsymbol{oldsymbol{ ext{cos}}} oldsymbol{oldsymbol{ ext{A}}}} \).
  • Находим второй острый угол (B): Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. \( oldsymbol{oldsymbol{ ext{ extdegree}}}} oldsymbol{oldsymbol{ ext{B}}}} = 90^{oldsymbol{oldsymbol{ ext{ extdegree}}}}} - oldsymbol{oldsymbol{ ext{ extdegree}}}} oldsymbol{oldsymbol{ ext{A}}}} \).

Ответ: Формула площади трапеции с доказательством и метод решения прямоугольного треугольника по катету и острому углу.