Билет №4. 1.Ромб. Свойства ромба. Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Свойства ромба:

• Все стороны ромба равны.
• Противоположные углы ромба равны.
• Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Доказательство перпендикулярности диагоналей:

Пусть дан ромб ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Рассмотрим треугольники \( ΔAOB \) и \( ΔAOD \).

1. AB = AD (стороны ромба равны).

2. OB = OD (диагонали точкой пересечения делятся пополам).

3. AO — общая сторона.

Следовательно, \( ΔAOB = ΔAOD \) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, то есть \( ∠AOB = ∠AOD \).

Так как \( ∠AOB \) и \( ∠AOD \) — смежные углы, их сумма равна \( 180^\circ \):

\( ∠AOB + ∠AOD = 180^\circ \)

Поскольку \( ∠AOB = ∠AOD \), то:

\( 2∠AOB = 180^\circ \)

\( ∠AOB = 90^\circ \).

Таким образом, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Ответ: Свойства ромба перечислены выше, доказательство перпендикулярности диагоналей приведено.