Билет №3. 1. Степенная функция, её свойства и график 2. Известно, что sin a + cos a = 1/2. Найти sin³ a + cos³ a 3. Параллельность прямой и плоскости

Решение:

1. Степенная функция — это функция вида \( y = ax^n \), где \( a \) и \( n \) — некоторые числа.
   Свойства:
   1. Область определения зависит от \( n \).
   2. Область значений зависит от \( n \) и знака \( a \).
   3. Монотонность (возрастание/убывание) зависит от \( n \) и знака \( a \).
   4. Четность/нечетность: если \( n \) — целое четное, функция четная; если \( n \) — целое нечетное, функция нечетная.
   График — парабола (для \( n \) — натуральное четное), кубическая парабола (для \( n=3 \)), гипербола (для \( n=-1 \)) и т.д.
2. Известно, что \( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2} \). Найти \( \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha \).
   Возведем обе части равенства в квадрат:
   \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (\frac{1}{2})^2 \)
   \( \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{4} \)
   \( 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} \)
   \( 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} \)
   \( \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{3}{8} \).
   
   Теперь найдем \( \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha \) по формуле суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \):
   \( \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) \)
   \( \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha) \)
   Подставим известные значения:
   \( \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\frac{1}{2})(1 - (-\frac{3}{8})) = \frac{1}{2}(1 + \frac{3}{8}) = \frac{1}{2}(\frac{8+3}{8}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8} = \frac{11}{16} \).
3. Параллельность прямой и плоскости означает, что прямая и плоскость либо пересекаются в одной точке, либо не имеют общих точек (прямая лежит в плоскости или параллельна ей).

Ответ: 1. \( y = ax^n \), свойства зависят от \( n \). 2. \( \frac{11}{16} \). 3. Прямая и плоскость либо пересекаются, либо не имеют общих точек.