Билет №1. 1. Арифметический корень натуральной степени 2. Решите уравнение sin 2x + 2cos² x = 0 3. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них

Решение:

1. Арифметический корень натуральной степени — это такое число, неотрицательное, которое при возведении в степень, равную показателю корня, дает подкоренное выражение.
2. Решим уравнение \( \sin 2x + 2\cos^2 x = 0 \).
   Используем формулу \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \) и \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \).
   \( 2\sin x \cos x + 2\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) = 0 \)
   \( 2\sin x \cos x + 1 + \cos 2x = 0 \)
   \( \sin 2x + 1 + \cos 2x = 0 \)
   Преобразуем \( \sin 2x + \cos 2x \) в \( \sqrt{2}\sin(2x + \frac{\pi}{4}) \).
   \( \sqrt{2}\sin(2x + \frac{\pi}{4}) + 1 = 0 \)
   \( \sin(2x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
   \( 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \) или \( 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \)
   \( 2x = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)
   \( 2x = \frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{6\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{3\pi}{4} + \pi n \)
3. Аксиомы стереометрии — это основные положения, принимаемые без доказательств, на которых строится вся геометрия в пространстве. К ним относятся: аксиомы параллельных прямых, аксиомы плоскости, аксиомы принадлежности. Следствия из них — это теоремы, доказываемые на основе аксиом.

Ответ: 1. Число, которое при возведении в степень показателя корня дает подкоренное выражение. 2. \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = \frac{3\pi}{4} + \pi n \). 3. Основные положения, принимаемые без доказательств, на которых строится вся геометрия в пространстве.