Билет 3. 1. Дать определение высоты треугольника. Сколько высот имеет треугольник? Построить высоты тупоугольного треугольника. 2. Докажите первый признак равенства треугольников. 3. Задача на тему «Параллельные прямые».

Билет 3.

1. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или её продолжение).
   Любой треугольник имеет три высоты, по одной из каждой вершины.
   Построение высот тупоугольного треугольника:
   Пусть дан тупоугольный треугольник \( ABC \), где \( \angle B > 90^{\circ} \).
   1. Из вершины \( A \) проведите перпендикуляр к прямой, содержащей сторону \( BC \). Точка пересечения будет основанием высоты \( h_a \).
   2. Из вершины \( C \) проведите перпендикуляр к прямой, содержащей сторону \( AB \). Точка пересечения будет основанием высоты \( h_c \).
   3. Из вершины \( B \) проведите перпендикуляр к стороне \( AC \). Основание этой высоты \( h_b \) будет лежать на стороне \( AC \).
   Примечание: Две из высот тупоугольного треугольника (из вершин острых углов) будут лежать вне треугольника, пересекая продолжения противоположных сторон.
2. Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
   Доказательство:
   Пусть даны два треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), у которых \( AB = A_1B_1 \), \( AC = A_1C_1 \) и \( \angle A = \angle A_1 \).
   Наложим \( \triangle ABC \) на \( \triangle A_1B_1C_1 \) так, чтобы вершина \( A \) совпала с вершиной \( A_1 \), а сторона \( AB \) — со стороной \( A_1B_1 \).
   Так как \( AB = A_1B_1 \), то точка \( B \) совпадёт с точкой \( B_1 \).
   Так как \( \angle A = \angle A_1 \), то сторона \( AC \) совпадёт со стороной \( A_1C_1 \).
   Так как \( AC = A_1C_1 \), то точка \( C \) совпадёт с точкой \( C_1 \).
   Следовательно, \( \triangle ABC \) полностью совпадает с \( \triangle A_1B_1C_1 \), а значит, эти треугольники равны.
3. Задача на тему «Параллельные прямые» — решение этой задачи не приведено, так как она требует индивидуального подхода и конкретных числовых данных, не представленных в условии.