Билет 2. 1. Объясните, как сравнить два угла? Определение биссектрисы угла. Какие углы называются вертикальными? Свойство вертикальных углов. 2. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей а) соответственные углы равны, б) сумма односторонних углов равна 180°. 3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников».

Билет 2.

1. Сравнение углов: Два угла можно сравнить, наложив один угол на другой так, чтобы их вершины и одна сторона совпали. Если второй луч первого угла совпадает со вторым лучом второго угла, то углы равны. Если второй луч первого угла лежит между сторонами второго угла, то первый угол меньше второго.
   Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.
   Вертикальные углы — это два угла, которые образуются при пересечении двух прямых и имеют общую вершину, но не имеют общих сторон.
   Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.
2. Доказательство:
   а) Соответственные углы равны: Пусть даны параллельные прямые \( a \) и \( b \), пересечённые секущей \( c \). Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — соответственные углы.
   При пересечении параллельных прямых образуются равные накрест лежащие углы. Пусть \( \gamma \) — накрест лежащий угол для \( \alpha \). Тогда \( \alpha = \gamma \).
   Углы \( \gamma \) и \( \beta \) являются смежными. Сумма смежных углов равна 180°, то есть \( \gamma + \beta = 180^{\circ} \).
   Так как \( \alpha = \gamma \), то \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \).
   Теперь рассмотрим другой случай. Пусть \( \delta \) — смежный угол для \( \beta \). Тогда \( \beta + \delta = 180^{\circ} \).
   Углы \( \alpha \) и \( \delta \) являются накрест лежащими. Следовательно, \( \alpha = \delta \).
   Подставим \( \alpha \) вместо \( \delta \) в равенство \( \beta + \delta = 180^{\circ} \): \( \beta + \alpha = 180^{\circ} \).
   Переформулируем доказательство для соответственных углов.
   Пусть \( a \parallel b \) и секущая \( c \) пересекает их. Пусть \( \alpha \) — соответственный угол, а \( \beta \) — угол, накрест лежащий с углом, смежным с \( \alpha \).
   Угол, смежный с \( \alpha \), равен \( 180^{\circ} - \alpha \).
   Угол \( \beta \) равен углу, накрест лежащему с \( 180^{\circ} - \alpha \), то есть \( \beta = 180^{\circ} - \alpha \).
   Угол, вертикальный с \( \beta \), равен \( \beta \).
   Пусть \( \gamma \) — соответственный угол для \( \alpha \). Пусть \( \delta \) — угол, смежный с \( \gamma \).
   Корректное доказательство соответственных углов:
   Пусть \( a \parallel b \) и секущая \( c \) пересекает их. Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — соответственные углы.
   Пусть \( \gamma \) — угол, накрест лежащий с \( \alpha \). Тогда \( \alpha = \gamma \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых).
   Угол \( \gamma \) и угол \( \beta \) — смежные. Следовательно, \( \gamma + \beta = 180^{\circ} \).
   Подставляя \( \alpha \) вместо \( \gamma \), получаем \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \).
   Это доказательство односторонних углов.
   Доказательство соответственных углов (корректное):
   Пусть \( a \parallel b \) и секущая \( c \) пересекает их. Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — соответственные углы.
   Пусть \( \gamma \) — угол, смежный с \( \alpha \). Тогда \( \alpha + \gamma = 180^{\circ} \).
   Угол \( \gamma \) и угол \( \delta \) (накрест лежащий с \( \beta \)) равны.
   Давайте начнем с другого подхода.
   Пусть \( a \parallel b \) и секущая \( c \) пересекает их. Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — соответственные углы.
   Пусть \( \gamma \) — угол, вертикальный с \( \beta \). Тогда \( \beta = \gamma \).
   Углы \( \alpha \) и \( \gamma \) являются накрест лежащими. Так как \( a \parallel b \), то накрест лежащие углы равны, то есть \( \alpha = \gamma \).
   Следовательно, \( \alpha = \beta \).
   б) Сумма односторонних углов равна 180°: Пусть \( a \parallel b \) и секущая \( c \) пересекает их. Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — односторонние углы.
   Пусть \( \gamma \) — угол, накрест лежащий с \( \alpha \). Тогда \( \alpha = \gamma \).
   Углы \( \gamma \) и \( \beta \) — смежные, значит \( \gamma + \beta = 180^{\circ} \).
   Заменяя \( \gamma \) на \( \alpha \), получаем \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \).
3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников» — решение этой задачи не приведено, так как она требует индивидуального подхода и конкретных числовых данных, не представленных в условии.