Билет № 2 1. Определение четырехугольника, параллелограмма. Свойства параллелограмма. Площадь параллелограмма 2. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром (). Угол ACB равен 38°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Билет № 2

1. Определение четырехугольника, параллелограмма.

Четырехугольник — это многоугольник, имеющий четыре вершины и четыре стороны.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.

2. Противоположные углы параллелограмма равны.

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

4. Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180°.

Площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: \( S = a \times h_a \).

Также площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними: \( S = ab \sin{\alpha} \).

2. Найдите угол AOD.

Дано:

Окружность с центром O.

AC и BD — диаметры.

\( \angle ACB = 38^{\circ} \).

Найти: \( \angle AOD \).

Решение:

Поскольку AC и BD — диаметры окружности, они проходят через центр O. Треугольник ACB — прямоугольный, так как угол ACB опирается на диаметр.

В треугольнике AOD, OA и OD являются радиусами окружности, следовательно, \( OA = OD \). Это означает, что треугольник AOD — равнобедренный.

Угол ACB равен 38°. Поскольку AC — диаметр, угол ABC опирается на диаметр, значит \( \angle ABC = 90^{\circ} \).

В треугольнике ABC, сумма углов равна 180°. Следовательно, \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 38^{\circ} = 52^{\circ} \>.

Углы BAC и BDC опираются на одну дугу BC, поэтому \( \angle BDC = \angle BAC = 52^{\circ} \>.

Углы CAD и CBD опираются на одну дугу CD, поэтому \( \angle CBD = \angle CAD \>.

Рассмотрим треугольник AOD. Углы при основании AD равны: \( \angle OAD = \angle ODA \>.

Угол AOD является центральным углом, опирающимся на дугу AD.

Углы ACB и ADB опираются на одну дугу AB, поэтому \( \angle ADB = \angle ACB = 38^{\circ} \>.

В треугольнике AOD, \( \angle OAD = \angle BAC = 52^{\circ} \>.

Тогда \( \angle ODA = \angle ADB = 38^{\circ} \>. Это противоречие, так как в треугольнике AOD углы при основании должны быть равны.

Давайте пересмотрим. AC и BD — диаметры. Это значит, что O — центр окружности. Углы AOD и BOC — вертикальные, следовательно \( \angle AOD = \angle BOC \>.

Углы ACB и ADB опираются на дугу AB. \( \angle ADB = \angle ACB = 38^{\circ} \>.

В треугольнике BOC, OB = OC (радиусы). Поэтому \( \angle OBC = \angle OCB \>.

Угол ACB = 38°. Угол BOC — центральный угол, опирающийся на дугу BC. Угол BAC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Значит \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC \>.

Из условия \( \angle ACB = 38^{\circ} \>. В треугольнике AOB, OA=OB (радиусы), значит \( \angle OAB = \angle OBA \>. \( \angle ACB \) опирается на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен \( \angle AOB \>.

\( \angle AOB = 2 \times \angle ACB \) — это неправильно. \( \angle ACB \) — вписанный угол.

Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Значит, \( \angle ABC = 90^{\circ} \>.

В треугольнике ABC, \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 38^{\circ} = 52^{\circ} \>.

Углы AOD и BOC — вертикальные, поэтому \( \angle AOD = \angle BOC \>.

Угол ACB = 38°. Треугольник BOC — равнобедренный (OB=OC). \( \angle OBC = \angle OCB \>.

Угол AOB — центральный, опирается на дугу AB. Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB.

\( \angle AOB = 2 \times \angle ACB \) — это верно, если \( \angle ACB \) — это вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Но на рисунке явно \( \angle ACB \) — это угол, образованный диаметром AC и хордой BC.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Значит \( \angle ABC = 90^{\circ} \>.

Рассмотрим \( \triangle BOC \). OB = OC (радиусы). \( \angle OBC = \angle OCB \>.

Угол ACB = 38°. Этот угол является частью \( \angle OCB \) или \( \angle ACB \) = 38°.

AC — диаметр. \( \angle ABC = 90^{\circ} \>.

В \( \triangle ABC \), \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 38^{\circ} = 52^{\circ} \>.

Углы AOD и BOC — вертикальные, значит \( \angle AOD = \angle BOC \>.

В \( \triangle BOC \), OB = OC (радиусы). \( \angle OBC = \angle OCB \>.

Рассмотрим \( \triangle AOC \). Это вырожденный треугольник, так как A, O, C лежат на одной прямой (диаметр).

Угол ACB = 38°. Треугольник OBC — равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB \>.

Угол BOC — центральный угол. Угол BAC — вписанный, опирается на дугу BC. \( \angle BAC = 52^{\circ} \>.

Значит \( \angle BOC = 2 \times \angle BAC = 2 \times 52^{\circ} = 104^{\circ} \>.

Так как \( \angle AOD = \angle BOC \) (вертикальные углы), то \( \angle AOD = 104^{\circ} \>.

Проверка:

В \( \triangle BOC \): \( \angle OBC = \angle OCB = (180^{\circ} - 104^{\circ}) / 2 = 76^{\circ} / 2 = 38^{\circ} \>.

В \( \triangle AOB \): \( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle BOC = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \>.

\( \angle OAB = \angle OBA = \(180^{\circ} - 76^{\circ}\) / 2 = 104^{\(\circ\)} / 2 = 52^{\(\circ\)} \>.

\( \(\angle\) BAC = 52^{\(\circ\)} \>, \( \(\angle\) ABC = \(\angle\) OBA + \(\angle\) OBC = 52^{\(\circ\)} + 38^{\(\circ\)} = 90^{\(\circ\)} \>.

\( \(\angle\) ACB = 38^{\(\circ\)} \>. Это соответствует условию.

Значит \( \(\angle\) AOD = 104^{\(\circ\)} \>.

Ответ: 104