Билет № 18 1. Вписанная окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник. 2. Теорема Пифагора (формулировка и доказательство). Пифагоровы треугольники. 3. Найдите площадь параллелограмма, если AD = 12см, BD=5см, АВ=13см.

Билет № 18

1. Вписанная окружность: Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности.
2. Центр вписанной окружности: Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.
3. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. \( a^2 + b^2 = c^2 \), где a и b — катеты, c — гипотенуза.
4. Доказательство (одно из многих): Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Построим квадрат со стороной \( a + b \). Внутри него разместим квадрат со стороной \( c \) (вершины которого лежат на сторонах большого квадрата), а вокруг него — четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a и b. Площадь большого квадрата равна \( (a+b)^2 \). Площадь четырёх треугольников равна \( 4 \cdot \frac{1}{2}ab = 2ab \). Площадь внутреннего квадрата равна \( c^2 \). Таким образом, \( (a+b)^2 = c^2 + 2ab \). Раскрывая скобки, получаем \( a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab \). Вычитая \( 2ab \) из обеих частей, получаем \( a^2 + b^2 = c^2 \).
5. Пифагоровы треугольники: Это прямоугольные треугольники, у которых длины всех сторон являются целыми числами. Примеры: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17).
6. Площадь параллелограмма:
   1. Дано: Параллелограмм ABCD, AD = 12 см, BD = 5 см, AB = 13 см.
   2. Найти: Площадь S.
   3. Решение: В параллелограмме ABCD диагональ BD делит его на два равных треугольника: \( \triangle ABD \) и \( \triangle CDB \).
   4. Рассмотрим \( \triangle ABD \). Стороны равны AB = 13 см, AD = 12 см, BD = 5 см.
   5. Проверим, является ли \( \triangle ABD \) прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \). \( 13^2 = 169 \).
   6. Так как \( BD^2 + AD^2 = AB^2 \), то \( \triangle ABD \) — прямоугольный, и прямой угол \( \angle D = 90° \).
   7. Площадь прямоугольного \( \triangle ABD \) равна \( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \) см².
   8. Площадь параллелограмма равна удвоенной площади \( \triangle ABD \): \( S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABD} = 2 \cdot 30 = 60 \) см².
   9. Вывод: Параллелограмм с данными сторонами и диагональю является прямоугольником.

Ответ: 1. Вписанная окружность и её центр определены выше. 2. Теорема Пифагора, её доказательство и примеры пифагоровых треугольников приведены. 3. Площадь параллелограмма равна 60 см².