Билет № 17 1. Описанная окружность. Центр окружности, описанной около треугольника. 2. Свойства параллелограмма (формулировка и доказательство). 3. Найдите площадь трапеции с основаниями AD и BC, если AD=12см, BC=6см, CD=5см АС=13см.

Билет № 17

1. Описанная окружность: Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности.
2. Центр описанной окружности: Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
3. Свойства параллелограмма:
   • Противоположные стороны параллелограмма равны.
   • Противоположные углы параллелограмма равны.
   • Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
   • Сумма углов, прилежащих к любой стороне параллелограмма, равна 180°.
   • Доказательство (например, для противоположных сторон): Пусть ABCD — параллелограмм. Проведём диагональ AC. Треугольники ABC и CDA равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), так как AB = CD, BC = DA (по определению параллелограмма) и \( \angle BAC = \angle DCA \) как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC. Следовательно, AC = CA и \( \angle BCA = \angle DAC \) как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC. Значит, \( \triangle ABC = \triangle CDA \) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Из равенства треугольников следует, что AB = CD и BC = AD.
4. Площадь трапеции:
   1. Сначала найдём высоту трапеции. Опустим перпендикуляры из B и C на AD. Пусть эти точки будут E и F. Тогда EF = BC = 6 см. AD = AE + EF + FD = 12 см.
   2. Рассмотрим \( \triangle ACF \). Это прямоугольный треугольник, так как CF — высота. Из \( \triangle ACF \) по теореме Пифагора: \( AF^2 + CF^2 = AC^2 \).
   3. Из \( \triangle BCF \) по теореме Пифагора: \( BF^2 + CF^2 = BC^2 \). (Здесь ошибка в условии, так как BF не является частью AD, а CD=5см, AC=13см. Предположим, что CD=5см и проведена высота из C, обозначим точку на AD как H. Тогда CH = высота. Рассмотрим \( \triangle CDH \).
   4. Дано: Трапеция ABCD, AD || BC, AD = 12 см, BC = 6 см, CD = 5 см, AC = 13 см.
   5. Найти: Площадь S.
   6. Решение: Опустим высоту CH из вершины C на основание AD. \( \triangle ACH \) - прямоугольный. \( AH^2 + CH^2 = AC^2 = 13^2 = 169 \).
   7. Опустим высоту BK из вершины B на основание AD. \( \triangle CDK \) - прямоугольный. \( KD^2 + BK^2 = CD^2 = 5^2 = 25 \).
   8. Так как BC || AD, то BK = CH.
   9. Из свойств трапеции, \( AH + HK + KD = AD \). Так как HK = BC = 6, то \( AH + 6 + KD = 12 \), откуда \( AH + KD = 6 \).
   10. Из \( \triangle ACH \): \( AH = \sqrt{169 - CH^2} \).
   11. Из \( \triangle CDK \): \( KD = \sqrt{25 - CH^2} \).
   12. Подставим в \( AH + KD = 6 \): \( \sqrt{169 - CH^2} + \sqrt{25 - CH^2} = 6 \).
   13. Возведём обе части в квадрат: \( (169 - CH^2) + (25 - CH^2) + 2\sqrt{(169 - CH^2)(25 - CH^2)} = 36 \).
   14. \( 194 - 2CH^2 + 2\sqrt{(169 - CH^2)(25 - CH^2)} = 36 \).
   15. \( 2\sqrt{(169 - CH^2)(25 - CH^2)} = 2CH^2 - 158 \).
   16. \( \sqrt{(169 - CH^2)(25 - CH^2)} = CH^2 - 79 \).
   17. Возведём обе части в квадрат: \( (169 - CH^2)(25 - CH^2) = (CH^2 - 79)^2 \).
   18. \( 4225 - 169CH^2 - 25CH^2 + CH^4 = CH^4 - 158CH^2 + 6241 \).
   19. \( 4225 - 194CH^2 + CH^4 = CH^4 - 158CH^2 + 6241 \).
   20. \( 4225 - 194CH^2 = -158CH^2 + 6241 \).
   21. \( 36CH^2 = 2016 \).
   22. \( CH^2 = \frac{2016}{36} = 56 \).
   23. \( CH = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \) см.
   24. Теперь найдём AH и KD: \( AH = \sqrt{169 - 56} = \sqrt{113} \) см. \( KD = \sqrt{25 - 56} \) — это невозможно, так как под корнем отрицательное число.
   25. Вывод: В условии задачи, вероятно, допущена ошибка, так как при данных значениях CD=5 см, CH=2\(\sqrt{14}\) см (приблизительно 7.48 см) катет CH больше катета CD, что невозможно в прямоугольном треугольнике.
   26. Предполагаемое исправление условия: Если принять AC=13см и CD=12см (вместо 5см), то: \( AH = \sqrt{169 - CH^2} \), \( KD = \sqrt{144 - CH^2} \). \( \sqrt{169 - CH^2} + \sqrt{144 - CH^2} = 6 \). Это уравнение также сложно решить аналитически.
   27. Альтернативный подход: Опустим высоту BH из B на AD. \( \triangle ABH \) - прямоугольный. \( AH^2 + BH^2 = AB^2 \). \( AH + HK + KD = 12 \). \( AH+6+KD=12 \). \( AH+KD=6 \). \( BH=CH \).
   28. Рассмотрим случай, если CD — высота, то CD=5. Тогда BC=6, AD=12. \( \triangle ADC \). \( AD=12 \), \( CD=5 \), \( AC=13 \). \( 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 \). Следовательно, \( \triangle ADC \) — прямоугольный, \( \angle D = 90° \). В этом случае трапеция является прямоугольной. Высота трапеции равна CD = 5 см.
   29. Площадь трапеции: \( S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CD = \frac{12 + 6}{2} \cdot 5 = \frac{18}{2} \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45 \) см².

Ответ: 1. Описанная окружность и её центр определены выше. 2. Свойства и доказательство в учебнике. 3. Площадь трапеции равна 45 см².