Билет №18. 1. Синус, косинус и тангенс двойного угла; половинного угла 2. Решите неравенство \( \sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4} \) 3. Цилиндр

Решение:

1. Формулы двойного и половинного углов:
   Двойной угол: \( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \), \( \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha) \), \( \mathrm{tg}(2\alpha) = \frac{2\mathrm{tg}(\alpha)}{1 - \mathrm{tg}^2(\alpha)} \).
   Половинный угол: \( \sin(\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}} \), \( \cos(\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}} \), \( \mathrm{tg}(\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}} = \frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{1+\cos(\alpha)} \).
2. Решение неравенства: \( \sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4} \)
   Область допустимых значений (ОДЗ): \( 2x^2 - 7x - 4 \ge 0 \).
   Найдём корни квадратного трёхчлена \( 2x^2 - 7x - 4 = 0 \):
   \[ D = (-7)^2 - 4 ∙ 2 ∙ (-4) = 49 + 32 = 81 \]
   \[ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 ∙ 2} = \frac{7 \pm 9}{4} \]
   \[ x_1 = \frac{7+9}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]
   \[ x_2 = \frac{7-9}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]
   Значит, \( 2x^2 - 7x - 4 \ge 0 \) при \( x \in (-\infty; -0.5] \cup [4; \infty) \).
   Рассмотрим два случая:
   Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна или равна нулю, то есть \( -x - \frac{1}{4} \le 0 \) \( \Rightarrow x \ge -0.25 \).
   В этом случае неравенство выполняется для всех \( x \) из ОДЗ, для которых \( x \ge -0.25 \).
   Пересечение \( (-\infty; -0.5] \cup [4; \infty) \) и \( [-0.25; \infty) \) даёт \( [4; \infty) \).
   Случай 2: Правая часть неравенства положительна, то есть \( -x - \frac{1}{4} > 0 \) \( \Rightarrow x < -0.25 \).
   В этом случае возведём обе части неравенства в квадрат:
   \[ 2x^2 - 7x - 4 > \left( -x - \frac{1}{4} \right)^2 \]
   \[ 2x^2 - 7x - 4 > x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \]
   \[ x^2 - 7.5x - 4.0625 > 0 \]
   \[ x^2 - \frac{15}{2}x - \frac{65}{16} > 0 \]
   Умножим на 16:
   \[ 16x^2 - 120x - 65 > 0 \]
   Найдём корни квадратного трёхчлена \( 16x^2 - 120x - 65 = 0 \):
   \[ D = (-120)^2 - 4 ∙ 16 ∙ (-65) = 14400 + 4160 = 18560 \]
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{18560} = \sqrt{64 ∙ 290} = 8\sqrt{290} \]
   \[ x_{1,2} = \frac{120 \pm 8\sqrt{290}}{2 ∙ 16} = \frac{120 \pm 8\sqrt{290}}{32} = \frac{15 \pm \sqrt{290}}{4} \]
   \( \sqrt{290} \approx 17.03 \)
   \[ x_1 \approx \frac{15 + 17.03}{4} = \frac{32.03}{4} \approx 8.01 \]
   \[ x_2 \approx \frac{15 - 17.03}{4} = \frac{-2.03}{4} \approx -0.5075 \]
   Неравенство \( 16x^2 - 120x - 65 > 0 \) выполняется при \( x \in (-\infty; \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \cup (\frac{15 + \sqrt{290}}{4}; \infty) \).
   Учитывая условие \( x < -0.25 \) и ОДЗ \( x \in (-\infty; -0.5] \cup [4; \infty) \), пересечение даёт:
   \( (-\infty; -0.5] \) и \( (-\infty; \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \). Так как \( -0.5075 < -0.25 \), то \( x \in (-\infty; \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \).
   Объединим решения из двух случаев:
   \( [4; \infty) \cup (-\infty; \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \).
3. Теоретический вопрос: Цилиндр — это тело, ограниченное двумя равными кругами (основаниями), расположенными в параллельных плоскостях, и боковой поверхностью, которая образуется при движении отрезка, соединяющего соответствующие точки окружностей оснований, перпендикулярно к плоскости оснований.

Ответ: 1. Формулы синуса, косинуса, тангенса двойного и половинного углов. 2. \( x \in (-\infty; \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \cup [4; \infty) \). 3. Цилиндр — тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.