Билет №12. 1. Касательная к окружности, точка касания прямой к окружности. Теорема о свойстве касательной. 2. Дать определение подобных треугольников. Теорема об отношении площадей подобных треугольников. 3. В равнобедренном треугольнике основание равно 20см. а угол между боковыми сторонами равен 120°. Найти высоту, проведённую к основанию.

Решение:

1. Теорема о свойстве касательной:

• Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

2. Подобные треугольники:

• Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
• Теорема об отношении площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон.

3. Задача на равнобедренный треугольник:

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC (AB=AC)
• Основание BC = 20 см
• Угол BAC = 120°

Найти: Высоту BH, проведённую к основанию AC.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \angle ABC = \angle ACB \).
2. Сумма углов треугольника: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \).
3. \( 120° + 2 \angle ABC = 180° \)
4. \( 2 \angle ABC = 60° \)
5. \( \angle ABC = \angle ACB = 30° \)
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC (BH - высота, \( \angle BHC = 90° \)).
7. В \( \triangle BHC \): \( \angle BCH = 30° \), \( \angle HBC = 60° \).
8. Высота BH является катетом, противолежащим углу 30°.
9. По свойству прямоугольного треугольника, катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы: \( BH = \frac{1}{2} BC \).
10. \( BH = \frac{1}{2} \times 20 \text{ см} = 10 \text{ см} \).

Ответ: Высота, проведённая к основанию, равна 10 см.