Билет №1 1. Сформулируйте определение выпуклого многоугольника (периметр, диагональ). Сформулируйте теорему о сумме углов выпуклого многоугольника. 2. Признаки подобия треугольников. Доказать один признак на выбор обучающегося. 3. В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ - диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: дуга ВС=134°;

Билет №1

1. Определение и теорема:

• Выпуклый многоугольник – это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.


• Периметр – это сумма длин всех сторон многоугольника.


• Диагональ – это отрезок, соединяющий две вершины многоугольника, не являющиеся соседними.


• Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника: Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна $$180^
  
  ° \times (n-2)$$.

2. Признаки подобия треугольников:

• Первый признак (по двум углам): Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.


• Второй признак (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.


• Третий признак (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

3. Задача:

Дано:

• Треугольник ABC вписан в окружность.


• AB – диаметр окружности.


• Дуга BC = 134°.

Найти: Углы треугольника ABC.

Решение:

1. Так как AB – диаметр, то угол ACB, опирающийся на диаметр, равен 90°.


2. Дуга AC = 360° - 180° (полуокружность) - 134° = 46°.


3. Угол ABC опирается на дугу AC, поэтому $$\angle ABC = \frac{1}{2} \times \text{дуга } AC = \frac{1}{2} \times 46° = 23°$$.


4. Угол BAC опирается на дугу BC, поэтому $$\angle BAC = \frac{1}{2} \times \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \times 134° = 67°$$.


5. Проверка: $$90° + 23° + 67° = 180°$$.

Ответ: $$\angle ACB = 90°$$, $$\angle ABC = 23°$$, $$\angle BAC = 67°$$.